会圆术

会圆术，是从《九章算术》的“方田”章所载的“弧田术”的基础发展而成的，并载于《梦溪笔谈》一书，但作者沈括并未给出这一公式的推导。

所谓“会圆术”就是已知弓形的高和所在圆直径，通过勾股定理求出弓形的弦长，进而求出弓形弧长的方法。即：$c\approx {\frac {2h^{2}}{d}}+l$。其中$c$为弧长，$d$为弧所在的圆之直径，$l$为弓形的弦长，$h$ 为弓形的高。

元代王询、郭守敬等人在推算《授时历》的过程中，曾应用会圆术推算“赤道积度”（太阳赤经余弧）和“赤道内外度”（太阳赤纬），类似欧美的球面三角形的公式。但由于会圆术弧矢公式易出现误差，圆心角越大，误差越大，推得的周天直径不够精确，因而其结果也就不十分精确。而计算方法仅限于毕氏定理，不知利用三角函数的正切，由弧度求弦矢，计算过于繁琐。明朝末年制定《崇祯历书》则由徐光启直接引进西方数学。

内容

沈括说：“履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。”，“拆”即将圆割掉一个弓形，“会”意为合，也就是把“拆”掉的圆再复原回去，因此沈括又将这种方法称为“拆会之术”。

已知圆的直径和弓形的高，沈括先用勾股定理求出弓形的弦长：“置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径”。“所割之数”指弓形的高，而“直径”指的是弓形的弦长，不是圆的直径。即$l=2{\sqrt {({\frac {d}{2}})^{2}-({d}-h)^{2}}}$，其中$l$为弓形的弦长，$d$为弧所在的圆之直径，$h$ 为弓形的高。然后“以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧”。即$c\approx {\frac {2h^{2}}{d}}+l$，其中$c$为弧长。

推导过程

虽然沈括没有给出他的推导过程，但可以根据《九章算术·方田》中的“弧田术”、“宛田术”和“圭田术”（即弓形、扇形和三角形面积公式）得到出沈括的公式。

“弧田术”认为：弓形面积$\approx$“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即${\frac {hl+h^{2}}{2}}$，$l$为弓形的弦长，$h$ 为弓形的高；

“宛田术”指出：扇形面积=“以径乘周，四而一”，即${\frac {1}{4}}{c}\times {d}$，$c$为弧长，${d}$为所在的圆之直径；

“圭田术”指出：三角面积=“半广以乘正从”，即${\frac {1}{2}}$底$\times$高，则弓形所在扇形的圆心与弓弦围成的三角形面积=${\frac {1}{2}}{l}{(r-h)}$。

会圆术求得的弧长与实际弓形弧长之比较

弓形所在扇形面积=弓形面积+该扇形圆心与弓弦围成的三角形面积，即

${\frac {1}{4}}c\times {d}\approx {\frac {hl+h^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}{l}{(r-h)}$，化简整理：

$rc\approx {hl+h^{2}}+{lr}-{lh}$

$c\approx {\frac {h^{2}}{r}}+l={\frac {2h^{2}}{d}}+l$

因为所依据的“弧田术”是错误的弓形面积公式，所以“会圆术”计算所得的弓形弧长也不正确，只是近似值，偏差随圆心角增大而增大。

外部链接

• 会圆术 （页面存档备份，存于互联网档案馆）