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有界集合

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(顶上的)有界集合和(底下的)无界集合的示意图。底下的这个集合一直向右延续。

数学分析和有关的数学领域中,如果一个集合在某种意义上有有限大小,则称为有界。反过来说,不是有界的集合就叫做无界

定义

如果存在一个实数 ,使得对于所有 中的 实数集合 被称为“上有界”的,这个数 被称为 上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界

如果集合 有上界和下界二者,则它是有界的。所以,如果一个实数集合包含在有限区间内,则它是有界的。

度量空间

度量空间 子集 有界的,如果它包含在有限半径的内,就是说如果对于所有 中的 ,存在 中的 并且 ,使得 是有界度量空间(或 是有界度量),如果 作为自身的子集是有界的。

  • 完全有界性蕴涵有界性。对于 的子集下列二者是等价的。
  • 度量空间是紧致的,当且仅当它是完备的并且是完全有界的。
  • 欧几里得空间 的子集是紧致的,当且仅当它是闭集并且是有界的。

拓扑向量空间内的有界性

拓扑向量空间中,存在一个有界集合的不同定义,通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所诱导,如度量是由赋范向量空间范数所诱导的情况,则这两个定义是一致的。

序理论中的有界性

一个实数集合是有界的,当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。

对于偏序集合 的子集 ,如果 中的所有元素 ,都小于 中的某个元素 ,也就是对于所有,其中 ,则称S上有界的(bounded above),而元素 称为 上界。同理可定义下有界下界。(参见上界和下界。)

偏序集合 的子集 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等价的说,它被包含在一个区间内。注意这不是集合 自己的一个性质,而是集合 作为 的子集的性质。

有界偏序集合 (就是说自身就是有界而不是作为子集)是有最小元素最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关,有界偏序集合 的子集 的次序(的限制)下也不必然是有界偏序集合。

的子集 是关于欧几里得距离有界的,当且仅当它在乘积序英语Product order下作为 的子集是有界的。但是, 可以是在字典序下有界,而不关于欧几里得距离有界。

序数的类被称为是无界的,或共尾的,在给定任何序数的时候,总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下,“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。

参见