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概形

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概形(英语:scheme)是代数几何学中的一个基本概念。概形是由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出的,其中一个目的是为了解决代数几何中的一些问题,例如威尔猜想英语Weil conjectures[1] 。建立在交换代数的基础之上,概形理论允许使用拓扑学同调代数中有系统的方法。概形理论也将许多代数几何和数论的问题统一,这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理

定义

给定一个局部赋环空间,如果对的一个开集仿射概形,称仿射开集

一个局部赋环空间称为概形,如果的每一点都有仿射开邻域,即包含的仿射开集。

直观上说,概形是由仿射概形粘起来得到的,正如流形是由欧几里得空间粘起来得到的。

两个概形之间的态射就是它们作为局部赋环空间的态射。

概形范畴

全体概形构成范畴,其态射取为局部赋环空间之间的态射(另见概形的态射英语morphism of schemes)。给定概形,所谓之上的概形(又称-概形)即是概形间的态射。交换环上的概形即是态射

上的代数簇可定义为上的满足特定条件的概形,但对于具体何种概形可称为簇,有不同约定,其中一种定义为之上有限型英语Morphism of finite type分离概形。[2]

态射确定了正则函数环上的拉回同态。对于仿射概形,此构造给出概形态射与环同态之间的一一对应。[3]此意义下,概形论包含了交换环论的全部内容。

由于交换环范畴英语category of commutative rings始对象,概形范畴对应以终对象。对于交换环上的概形,所谓值点即是态射截面英语section (category theory),全体值点的集合记作,其对应的古典概念是定义的方程组在中的解集。若实为域,则亦称为-有理点英语rational point集。

推而广之,设有交换环,其上有概形和交换代数,则值点定义为之上的态射(该态射需要与射向的态射组成交换图表),值点的集合记作。(类比到方程组的情况,相当于将某个域扩张,再考虑中的解集。)固定及其上的概形时,映射为自交换代数范畴至集合范畴的函子上的概形可从此点函子英语functor of points确定。[4]

概形的纤维积英语fiber product of schemes总存在:对任意两态射,皆可在概形范畴内找到纤维积(即范畴学拉回)。若为域上的概形,则两者在上的纤维积可以视为-概形范畴中的积,例如仿射空间上之积正是

由于概形范畴既有纤维积,又有终对象,其有齐全部有限极限

历史

概形的概念是由亚历山大·格罗滕迪克在20世纪50年代引入的。一开始称为“预概形”(法语:préschéma,英语:prescheme),1967年左右改称现名。

概形的中文名称源自日文“概型”。

  • 仿射概形的开子集不一定仿射,因此需要考虑(非仿射的)一般概形。例如,设(基域取复域为例),则当时,不为仿射。(但对于的情况,仿射直线挖去原点,同构于仿射概形。)欲证非仿射,可以证出当时,上的每个正则映射,皆可延拓至上。(对正则映射较易证明;对解析函数,则是复分析的哈托格斯延拓定理英语Hartogs's extension theorem)。换言之,嵌入导出自的环同构。假若仿射,将由此得出本身亦为同构,但不为满射,矛盾。因此,概形不为仿射。[5]
  • 为域,则可数积的谱为仿射概形,底下的拓扑空间为正整数集(离散)的斯通-切赫紧化,因为质理想与正整数集上的超滤子一一对应:超滤子对应质理想

    特别地,正整数对应的主超滤子,对应的质理想是[6]本例仿射概形为零维空间,故而每点自成一个既约分支英语irreducible component。由于仿射概形皆拟紧,本例是拟紧但具有无穷多个既约分支的概形。(诺特概形英语Noetherian scheme则与之相对,只有有限多个既约分支。)

参考文献

  1. ^ Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".
  2. ^ Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], (原始内容存档于2022-11-01) .
  3. ^ Hartshorne 1997,Proposition II.2.3.
  4. ^ Eisenbud & Harris 1998,Proposition VI-2.
  5. ^ Hartshorne 1997,Exercises I.3.6 and III.4.3.
  6. ^ Arapura 2011,section 1.

参见