数学 上，数域 F 上的n 阶正交群 ，记作O(n ,F )，是F 上的n ×n 正交矩阵 在矩阵乘法 下构成的群 。它是一般线性群 GL(n ,F )的子群，由
O
(
n
,
F
)
=
{
Q
∈
G
L
(
n
,
F
)
∣
Q
T
Q
=
Q
Q
T
=
I
}
{\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}\;}
这里QT 是Q 的转置 。实数域上的经典正交群通常就记为O(n )。
更一般地，F 上一个非奇异二次型 的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理 描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n ×n 正交矩阵组成一个O(n ,F )的正规子群 ，称为特殊正交群 SO(n ,F )。如果F 的特征 为2，那么1 = −1，从而O(n ,F )和SO(n ,F )相等；其他情形SO(n ,F )在O(n ,F )中的指数 是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(n ,F )为迪克森不变量的核 ，这样它在O(n ,F )中总有指数2。
O(n ,F )和SO(n ,F )都是代数群 ，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵 ，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。
实数域R 上的正交群O(n ,R )和特殊正交群SO(n ,R )在不会引起误会时经常记为O(n )和SO(n )。他们是n (n -1)/2 维 实紧 李群 。O(n ,R )有两个连通 分支，SO(n ,R )是单位分支 ，即包含单位矩阵 的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释：
O(n ,R )是欧几里得群 E (n )的子群，E (n )是R n 等距 群；O(n ,R )由其中保持原点 不动等距组成。它是以原点为中心的球面 (n = 3)、超球面 和所有球面对称的对象的对称群 。
SO(n ,R )是E + (n )的子群，E + (n )是“直接”等距，即保持定向 的等距；SO(n ,R )由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
{ I , −I }是O(n ,R )的正规子群 并是特征子群 ；如果n 是偶数，对SO(n ,R )也对。如果n 是奇数，O(n ,R )是SO(n ,R )和{ I , −I }的直积 。k 重旋转 循环群 Ck 对任何正整数k 都是O(2,R )和SO(2,R )的正规子群。
取合适的正交基 ，等距是
[
R
1
⋱
R
k
0
0
±
1
⋱
±
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}
的形式。这里矩阵R 1 ,...,R k
圆 的对称群 是O(2,R )，也称为Dih (S1 )，这里S1 是模长1复数的乘法群。
SO(2,R ) (作为李群)同构于圆S1 （圆群 ）。这个同构将复数exp(φi ) = cos(φ) + i sin(φ)映到正交矩阵
[
cos
(
ϕ
)
−
sin
(
ϕ
)
sin
(
ϕ
)
cos
(
ϕ
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\phi )&-\sin(\phi )\\\sin(\phi )&\cos(\phi )\end{bmatrix}}}
群SO(3,R )，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群 和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑 方面，对n > 2，SO(n ,R )的基本群 是2阶循环 ，而自旋群 Spin(n )是其万有覆叠 。对n = 2基本群是无限循环 而万有覆叠对应于实数轴 （旋量群Spin(2)是惟一的2重复叠）
李群O(n ,R )和SO(n ,R 的李代数 由斜对称 实n ×n 矩阵组成，李括号 由交换子 给出。这个李代数经常记为 o(n ,R )或so(n ,R )。
保持R 3 3 ,R )，能分成如下几类：
SO(3 ,R ):
恒同
绕一个过原点的轴转动不等于180°
绕一个过原点的轴转动180°
以上与关于原点的点反演 （x 映到−x ）复合，分别为：
关于原点的点反演
绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
关于一个过原点的平面的反射 特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转 。类似的参见欧几里得群 。
作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换 ，但是不是所有的共形变换都是正交变换。R n n )，由正交群和收缩 的乘积给出。如果n 是奇数，两个子群不相交，他们是直积：
CO
(
2
n
+
1
)
=
O
(
2
n
+
1
)
×
R
{\displaystyle \operatorname {CO} (2n+1)=\operatorname {O} (2n+1)\times \mathbf {R} }
n 是偶数，两个子群的交是
±
1
{\displaystyle \pm 1}
CO
(
2
n
)
=
O
(
2
n
)
×
R
+
{\displaystyle \operatorname {CO} (2n)=\operatorname {O} (2n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
我们可以类似地定义CSO(n )，这时总有
CSO
(
n
)
:=
CO
(
n
)
∩
GL
+
(
n
)
=
SO
(
n
)
×
R
+
{\displaystyle \operatorname {CSO} (n):=\operatorname {CO} (n)\cap \operatorname {GL} _{+}(n)=\operatorname {SO} (n)\times \mathbf {R} ^{+}\;}
复数域C 上，O(n ,C )和SO(n ,C )是C 上n (n -1)/2维的李群，这意味着实维数是n (n -1)。O(n ,C )有两个连通分支，SO(n ,C )是包含恒同矩阵的分支。当n ≥ 2时，这些群非紧。
和实情形一样，SO(n ,C )不是单连通的，对n > 2 SO(n ,C )的基本群 是2阶循环群 ，而SO(2,C )的基本群是无穷循环群。
O(n ,C )和SO(n ,C )的复李代数 由斜对称 复n ×n 矩阵组成，李括号 由交换子 给出。
低维实正交群是熟悉的空间：
O
(
1
)
=
{
±
1
}
=
S
0
S
O
(
1
)
=
{
1
}
=
∗
S
O
(
2
)
=
S
1
S
O
(
3
)
=
R
P
3
{\displaystyle {\begin{aligned}O(1)&=\left\{\pm 1\right\}=S^{0}\\SO(1)&=\left\{1\right\}=*\\SO(2)&=S^{1}\\SO(3)&=\mathbf {RP} ^{3}\end{aligned}}}
由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡 。
正交群的同伦群和球面的同伦群 密切相关，从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列
O
(
0
)
⊂
O
(
1
)
⊂
O
(
2
)
⊂
⋯
⊂
O
=
⋃
k
=
0
∞
O
(
k
)
{\displaystyle O(0)\subset O(1)\subset O(2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }O(k)}
的正向极限 （因为包含都是闭包含，从而是上纤维化 ，也能理解成并 ）。
S
n
{\displaystyle S^{n}}
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n+1)}
齐性空间 ，从而有如下纤维丛 ：
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
→
S
n
,
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)\to S^{n},}
可以理解为：正交群
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n+1)}
传递地作用 于单位球面
S
n
{\displaystyle S^{n}}
稳定子群 是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)}
从而包含
O
(
n
)
→
O
(
n
+
1
)
{\displaystyle O(n)\to O(n+1)}
(n-1) -连通
n
>
k
+
1
{\displaystyle n>k+1}
π
k
(
O
)
=
π
k
(
O
(
n
)
)
{\displaystyle \pi _{k}(O)=\pi _{k}(O(n))}
通过博特周期性 定理，
Ω
8
O
≃
O
{\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O}
O 的同伦群以8为周期，即
π
k
+
8
O
=
π
k
O
{\displaystyle \pi _{k+8}O=\pi _{k}O}
π
0
O
=
Z
/
2
π
1
O
=
Z
/
2
π
2
O
=
0
π
3
O
=
Z
π
4
O
=
0
π
5
O
=
0
π
6
O
=
0
π
7
O
=
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{1}O&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}O&=0\\\pi _{3}O&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}O&=0\\\pi _{5}O&=0\\\pi _{6}O&=0\\\pi _{7}O&=\mathbf {Z} \\\end{aligned}}}
通过cluching construction，稳定空间O 的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：
π
k
O
=
π
k
+
1
B
O
{\displaystyle \pi _{k}O=\pi _{k+1}BO}
设
K
O
=
B
O
×
Z
=
Ω
−
1
O
×
Z
{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} =\Omega ^{-1}O\times \mathbf {Z} }
π
0
{\displaystyle \pi _{0}}
π
0
K
O
=
Z
π
1
K
O
=
Z
/
2
π
2
K
O
=
Z
/
2
π
3
K
O
=
0
π
4
K
O
=
Z
π
5
K
O
=
0
π
6
K
O
=
0
π
7
K
O
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{2}KO&=\mathbf {Z} /2\\\pi _{3}KO&=0\\\pi _{4}KO&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}KO&=0\\\pi _{6}KO&=0\\\pi _{7}KO&=0\\\end{aligned}}}
最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
π
0
(
O
)
=
π
0
(
O
(
1
)
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{0}(O)=\pi _{0}(O(1))=\mathbf {Z} /2}
定向 （这个类存留到
O
(
2
)
{\displaystyle O(2)}
S
O
(
3
)
=
R
P
3
=
S
3
/
(
Z
/
2
)
{\displaystyle SO(3)=\mathbf {RP} ^{3}=S^{3}/(\mathbf {Z} /2)}
π
1
(
O
)
=
π
1
(
S
O
(
3
)
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{1}(O)=\pi _{1}(SO(3))=\mathbf {Z} /2}
自旋群
π
2
(
O
)
=
π
2
(
S
O
(
3
)
)
=
0
{\displaystyle \pi _{2}(O)=\pi _{2}(SO(3))=0}
π
2
(
S
O
(
4
)
)
{\displaystyle \pi _{2}(SO(4))}
由李群 一般性事实，
π
2
G
{\displaystyle \pi _{2}G}
π
3
G
{\displaystyle \pi _{3}G}
自由 阿贝尔群 。
从向量丛的观点来看，
π
0
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{0}(KO)}
S
0
{\displaystyle S^{0}}
π
0
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }
维数 。
利用博特周期性中环路空间 具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用
π
0
{\displaystyle \pi _{0}}
O ，以及O/U 有两个分支，
K
O
=
B
O
×
Z
{\displaystyle KO=BO\times \mathbf {Z} }
K
S
p
=
B
S
p
×
Z
{\displaystyle KSp=BSp\times \mathbf {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
一小部分结论：[ 1]
π
0
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{0}(KO)=\mathbf {Z} }
维数
π
1
(
K
O
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{1}(KO)=\mathbf {Z} /2}
定向
π
2
(
K
O
)
=
Z
/
2
{\displaystyle \pi _{2}(KO)=\mathbf {Z} /2}
自旋
π
4
(
K
O
)
=
Z
{\displaystyle \pi _{4}(KO)=\mathbf {Z} }
拓扑量子场理论 令
F
=
R
,
C
,
H
,
O
{\displaystyle F=\mathbf {R} ,\mathbf {C} ,\mathbf {H} ,\mathbf {O} }
L
F
{\displaystyle L_{F}}
F
P
1
{\displaystyle \mathbf {FP} ^{1}}
[
L
F
]
{\displaystyle [L_{F}]}
R
P
1
=
S
1
,
C
P
1
=
S
2
,
H
P
1
=
S
4
,
O
P
1
=
S
8
{\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}=S^{1},\mathbf {CP} ^{1}=S^{2},\mathbf {HP} ^{1}=S^{4},\mathbf {OP} ^{1}=S^{8}}
π
1
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{1}(KO)}
[
L
R
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}
π
2
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{2}(KO)}
[
L
C
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}
π
4
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{4}(KO)}
[
L
H
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}
π
8
(
K
O
)
{\displaystyle \pi _{8}(KO)}
[
L
O
]
{\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}
正交群也能定义在有限域
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
O
+
(
2
n
,
q
)
{\displaystyle O^{+}(2n,q)}
O
−
(
2
n
,
q
)
{\displaystyle O^{-}(2n,q)}
O
(
2
n
+
1
,
q
)
{\displaystyle O(2n+1,q)}
如果
V
{\displaystyle V}
G
{\displaystyle G}
V
=
L
1
⊕
L
2
⊕
⋯
⊕
L
m
⊕
W
{\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W}
这里
L
i
{\displaystyle L_{i}}
双曲线 而
W
{\displaystyle W}
W
=
0
{\displaystyle W=0}
G
{\displaystyle G}
W
=<
w
>
{\displaystyle W=<w>}
G
{\displaystyle G}
W
{\displaystyle W}
G
{\displaystyle G}
在n = 1的特例，
O
ϵ
(
2
,
q
)
{\displaystyle O^{\epsilon }(2,q)}
2
(
q
−
ϵ
)
{\displaystyle 2(q-\epsilon )}
二面体群 。
当特征大于2时，记O(n ,q ) = { A ∈ GL(n ,q ) : A ·A t =I }。关于这些群的阶数我们有以下公式
|
O
(
2
n
+
1
,
q
)
|
=
2
q
n
∏
i
=
0
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
如果
−
1
{\displaystyle -1}
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
|
O
(
2
n
,
q
)
|
=
2
(
q
n
−
1
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
如果
−
1
{\displaystyle -1}
F
q
{\displaystyle \mathbf {F} _{q}}
|
O
(
2
n
,
q
)
|
=
2
(
q
n
+
(
−
1
)
n
+
1
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
q
2
n
−
q
2
i
)
{\displaystyle |O(2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}
对偶数维正交群，迪克森不变量 是从正交群到Z /2Z 的同态 ，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群 和Pin群 类似地定义。
特征2域上的正交群常常有不同的表现。这一节列出一些不同：
任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是两个元素的域上的维特指标 为2的4维向量空间(Grove 2002 ，Theorem 6.6 and 14.16)。注意特征2域上的反射定义稍不同。特征2域，垂直于一个向量u 的反射将v 映为v +B(v ,u )/Q(u )·u ，这里B 是一个双线性形式，Q 是和正交矩阵相连的二次形式。而通常的豪斯霍尔德变换 是将v 映到v -2·B(v ,u )/Q(u )·u ，当奇特征和零特征时与比较两者不同。 在特征2的奇维数2n +1时，完全域上的正交群和2n 维辛群相同。事实上特征2时的辛形式时可交换的，而维数为奇数故总有一个1维的核，模去核的商是一个2n 维辛空间，正交群作用在它上面。 在特征2的偶维数，正交群是辛群的一个子群，因为此时二次型的辛双线性形式也是可交换的。
旋量模是一个从域F 上正交群到域F 的乘法群 模去平方元素
F * /F *2 的同态，将关于模长为n 向量的反射 映到F * /F *2 中的n 。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
代数群 的伽罗瓦上同调 理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；
但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦H 1 等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式 相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群 （更准确地pin群 ）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数 的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列 ：
1
→
μ
2
→
P
i
n
V
→
O
V
→
1
{\displaystyle 1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow Pin_{V}\rightarrow O_{V}\rightarrow 1}
这里μ2 是单位根的代数群 ；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。
从H 0 （就是取值于F 中点的群O V (F )）到H 1 (μ2 )的连接同态 本质上是spinor模，因为 H 1 (μ2 )同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的H 1 到自旋群覆叠的核的H 2 也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。
物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：
O
(
n
)
⊃
O
(
n
−
1
)
{\displaystyle O(n)\supset O(n-1)}
O
(
2
n
)
⊃
S
U
(
n
)
{\displaystyle O(2n)\supset SU(n)}
O
(
2
n
)
⊃
U
S
p
(
n
)
{\displaystyle O(2n)\supset USp(n)}
O
(
7
)
⊃
G
2
{\displaystyle O(7)\supset G_{2}}
正交群O(n)也是一些李群 的重要子群：
S
U
(
n
)
⊃
O
(
n
)
{\displaystyle SU(n)\supset O(n)}
U
S
p
(
2
n
)
⊃
O
(
n
)
{\displaystyle USp(2n)\supset O(n)}
G
2
⊃
O
(
3
)
{\displaystyle G_{2}\supset O(3)}
F
4
⊃
O
(
9
)
{\displaystyle F_{4}\supset O(9)}
E
6
⊃
O
(
10
)
{\displaystyle E_{6}\supset O(10)}
E
7
⊃
O
(
12
)
{\displaystyle E_{7}\supset O(12)}
E
8
⊃
O
(
16
)
{\displaystyle E_{8}\supset O(16)}
群O(10)在超弦理论 中非常重要，因为它是10维时空的对称群。
^ John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105 . [2008-10-18 ] . （原始内容存档 于2021-02-11）.
![{\displaystyle [L_{F}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f8a6f4c4ab7a23020f8f297aabb4b2778e625)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {R} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9261593233b9ab49e68e8b2fc130b5e333fd4b)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {C} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fcc6724f9fb4d10abb08d081379087097d4032)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {H} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9936b37a251aa65062ec5d167b9393196059b88)
![{\displaystyle [L_{\mathbf {O} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76564827333967b8642cd0131b221f944f575dd)
