正多边形多面体

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正多边形多面体
部分的正多边形多面体
正十二面体
正十二面体 		小斜方截半立方体
小斜方截半立方体
双新月双罩帐
双新月双罩帐 		五角星柱（英语：Pentagrammic prism）
五角星柱（英语：Pentagrammic prism）

正多边形多面体又称为正多边形面多面体（regular-faced polyhedron）是指所有面皆由正多边形组成的多面体，其每面的边数不一定相等，也不一定点可递，也无对称要求，因此正多边形多面体不一定有外接球。 所有侧面为正方形的棱柱体和侧面为正三角形的反棱柱都属于正多边形多面体，在正多边形多面体的研究通常都是探讨棱柱体和反棱柱等柱状均匀多面体以外的正多边形多面体。 凸正多边形多面体包括帕雷托立体、半正多面体和约翰逊多面体，非凸正多边形多面体除了包括星形正多面体、星形均匀多面体、星形柱状均匀多面体外，还包括无穷多种可能的多面体组合和一些自相交的多面体，如侧锥七角柱和鲁洛夫斯的星形三十面体。

分类

正多边形多面体可粗略分成下列几类：[1]

凸多面体 等面[注 2] 等角 种类 数量
是 是 是 凸正多面体（帕雷托立体） 5
是 是 否 凸正三角面多面体（正四面体、正八面体、正二十面体除外，因为此三者为帕雷托立体，是等角图形） 5（凸正三角面多面体有8个[2]，但是扣掉3个[注 3]）
是 否 是 正角柱、正反角柱 ∞
阿基米德立体 13
是 否 否 约翰逊多面体（J12、J13、J17、J51、J84除外，此五者为三角面多面体，所有面全等[注 2]） 87（约翰逊多面体有92个，但是扣掉5个[注 4]）
否 是 是 星形正多面体（开普勒－庞索立体） 4
否 是 否 非凸正三角面多面体（含多连正四面体（日语：正四面体リング））、多连立方体（正方形面不共面的情况）、多连正十二面体 ∞
否 否 是 正星形柱、正星形反柱（皆属于柱状均匀多面体） ∞
星形均匀多面体 53[3]
否 否 否 其他由正多边形组成的非凸多面体（例如侧锥七角柱） ∞

凸正多边形多面体

凸正多边形多面体是指所有面皆由正多边形组成的凸多面体，包括了无穷多种的棱柱体和反棱柱、帕雷托立体、阿基米德立体和约翰逊多面体。一般对于凸正多边形多面体的研究通常不讨论无穷集合的棱柱体和反棱柱，不包括棱柱体和反棱柱的话，凸正多边形多面体共有110个[4]，若严格不计棱柱体与反棱柱，则立方体（正四角柱）和正八面体（正三角反棱柱）不算，共108个[4]；有些文献会将除了帕雷托立体、阿基米德立体和约翰逊多面体外的边数最少之棱柱体和反棱柱也列入（正三角柱和正四角反棱柱）共有112个。[5]帕雷托立体与阿基米德立体早在公元前就已发现，而约翰逊多面体则发现得较晚，由诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）在1966年发现并命名，并由维克托·查加勒（英语：Victor Zalgaller）在1969年证明诺曼·约翰逊所列出的立体是完整的，没其其他更多立体有此特性，至此，严格凸的正多边形多面体研究已算完备。[4]

有n面的凸正多边形多面体的个数为（从n=1开始）：

0、​0、​0、​1、​2、​3、​2、​7、​3、​6、​4、​7、​3、​13、​2、​5、​4、​6、​1、​9、​2、​6、​1、​4、​1、​8、​4、​2、​1、​3、​1、​10、​1、​3、​1、​2、​4、​3、​1、​2、​1、​9、​1、​2、​1、​2、​2、​2、​1、​2、​1、​9、​1、​2、​1、​2、​1、​2、​1、​2、​1、​9、​1、​2、​... （OEIS数列A180916）

有n个顶点的凸正多边形多面体的个数为（从n=1开始）：

0、​0、​0、​1、​2、​3、​3、​6、​5、​7、​4、​10、​1、​6、​5、​6、​0、​6、​0、​8、​1、​4、​1、​8、​4、​2、​0、​3、​0、​9、​0、​3、​0、​2、​3、​2、​0、​2、​0、​5、​0、​2、​0、​2、​1、​2、​0、​3、​0、​5、​0、​2、​0、​2、​4、​2、​0、​2、​0、​10、​0、​2、​0、​2、​1、​2、​... （OEIS数列A333660）

非严格凸正多边形多面体

非严格凸正多边形多面体的一个例子，虚线表示该棱所对应的二面角为平角，为互相共面之面相邻的边
主条目：条件边正多边形凸多面体

非严格凸正多边形多面体则表示该多面体可能有相共面的面。若未予任何限制条件，则这类立体有无限多种；但若限制所有顶点都要严格位于边界顶角处，不得位于面的边上或内部，则满足条件的立体还有78个。这78个的前6个由B·A·伊万诺夫（B. A.Ivanov）[6]和普里亚欣·尤·A（Prjahin Ju. A.）[7]分别于1971年和1973年发现，而亚历克斯·多斯基（Alex Doskey）[8]、罗杰·考夫曼（Roger Kaufman）和史蒂夫·沃特曼（Steve Waterman）[9]在2006年发现了另外70个这类立体，完整的这些立体由维克多·扎加勒（Victor Zalgaller）[10]和阿列克谢·维克多罗维奇·蒂莫芬科（Aleksei Victorovich Timofeenko）[11]独立列出，并由蒂莫芬科于2010年证明这列表完整[11][12][13]。

而无此条件限制的立体虽有无限多种，但仍可加以分类，并可分类成有限种类别。[14]这些分类由蒂莫芬科和他的学生完成[15][4]。

非凸正多边形多面体

非凸正多边形多面体有无限多种，其中经常研究探讨星形均匀多面体，所有星形均匀多面体皆是非凸正多边形多面体，但星形均匀多面体通常有自相交的面。无自相交面的非凸正多边形多面体亦有无限多种，目前尚未有系统分类。邦妮·斯图尔特（Bonnie Stewart）在其著作《环形体历险记》（Adventures among the Toroids）中探讨了关于环形多面体的非凸正多边形多面体。[16][4]

相关几何体

凸正多边形多胞体

凸正多边形多胞体（convex regular-faced polytope，简称CRF polytope）是指所有二维面都是正多边形的多胞体[17]，可以视为是凸正多边形多面体在高维空间的类比。[18]

布兰德多胞形

布兰德多胞形（英语：Blind polytope）是指所有胞都是正多胞形的正多胞形，也可以视为凸正多边形多面体在高维空间的类比，由罗丝薇莎·布兰德（英语：Roswitha Blind）于1979年提出。[19]

注释

  1. ^ 等面图形通常要求要满足面可递的特性，例如菱形二十面体虽然所有面皆全等，但非严格的等面图形，因为其并未满足面可递的特性——可以通过检查该面周围的顶点类型来区分该面是靠近赤道还是靠近极点。
  2. ^ 2.0 2.1 此处的等面并不包括等面图形所要求的面可递特性[注 1]，仅指所有面皆全等的情况。
  3. ^ 在凸正三角面多面体中，有3个属于正多面体（正四面体、正八面体和正二十面体）
  4. ^ 在约翰逊多面体中，有5个属于三角面多面体（双三角锥、双五角锥、双四角锥反角柱、三侧锥三角柱和扭棱锲形体）

参考文献

  1. ^ Tom Gettys. Polyhedral Solids. comcast.net. [2022-07-17]. （原始内容存档于2014-04-18）. 
  2. ^ Freudenthal, H; van der Waerden, B. L., Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid"), Simon Stevin, 1947, 25: 115–128 （荷兰语） （其表明只有8个凸正三角面多面体）
  3. ^ Introducing the Kasparian Solids. quantimegroup.com. [2019-09-27]. （原始内容存档于2018-08-31）. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Robert R Tupelo-Schneck. Regular-faced Polyhedra. [2023-02-04]. （原始内容存档于2022-11-14）. 
  5. ^ Martin Berman. Regular-faced convex polyhedra. Journal of the Franklin Institute. 1971-05, 291 (5): 329–336 [2023-02-04]. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8. （原始内容存档于2018-06-24） （英语）. 
  6. ^ Ivanov, B. A. Polyhedra with boundary surfaces compounded from regular polygons. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1971, 10: 20–34. ISSN 0135-6992 （俄语）. 
  7. ^ Prjahin, Ju. A. Convex polyhedra with regular faces. Ukrainskiĭ Geometricheskiĭ Sbornik. 1973, (No. 14): 83–88 （俄语）. 
  8. ^ Alex Doskey. Convex Diamond-Regular Polyhedra. [2023-02-04]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  9. ^ Steve Waterman. Convex hulls having regular diamonds. [2023-02-04]. （原始内容存档于2023-01-31）. 
  10. ^ Gurin, AM and Zalgaller, VA. On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones. Translations of the American Mathematical Society-Series 2. 2009, 228: 169. 
  11. ^ 11.0 11.1 Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209. 
  12. ^ Timofeenko, Aleksei Victorovich. Corrections to “Junction of noncomposite polyhedra”. St. Petersburg Mathematical Journal. 2012-08-01, 23 (4): 779–780 [2023-01-31]. ISSN 1061-0022. doi:10.1090/S1061-0022-2012-01217-3 （英语）. 
  13. ^ Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-02-04]. （原始内容存档于2021-08-18）. 
  14. ^ Yu. A. Pryakhin. Convex polyhedra whose faces are equiangular or composed of such. Journal of Soviet Mathematics. 1978-09, 10 (3): 486–487 [2023-02-04]. ISSN 0090-4104. doi:10.1007/BF01476855 （英语）. 
  15. ^ A. V. Timofeenko. Convex polyhedra with parquet faces. Doklady Mathematics. 2009-10, 80 (2): 720–723 [2023-02-04]. ISSN 1064-5624. doi:10.1134/S1064562409050238 （英语）. 
  16. ^ Bonnie M. Stewart. Adventures Among the Toroids 2nd. 1980. 
  17. ^ Richard Klitzing. CRFs. bendwavy.org. [2023-02-04]. （原始内容存档于2023-04-11）. 
  18. ^ The CRF Polychora. qfbox.info. [2023-02-04]. （原始内容存档于2023-03-19）. 
  19. ^ Richard Klitzing. Blind polytopes. bendwavy.org. [2023-02-04]. （原始内容存档于2023-04-11）. 
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