伦伯杰（Luenberger）状态观测器 状态观测器 （英语：State observer ）是控制理论 中配合受控体的系统，在已知受控体架构的情形下，可以根据受控体的输入及输出而估测其内部的状态 ，是许多实务应用的基础。
许多的控制理论都会假设可以知道系统的状态，例如利用全状态回授 来稳定线性系统的例子。不过许多系统都无法直接量测到实际的状态，只能用状态对输出的影响来间接估计状态。像隧道中的车辆就是一个例子。车辆在隧道中的速度不易直接量测，只可以用隧道中的实际状态来估计。假如系统可观测 ，可以从输出配合状态观测器来完全估测系统的状态。
针对线性系统的状态观测器，最常用的是线性观测器、滑动模式观测器 ，也有在线性观测器中加入立方项的观测器。以下会说明线性观测器的结构。
线性非时变离散系统的状态方程式如下：
x
(
k
+
1
)
=
A
x
(
k
)
+
B
u
(
k
)
{\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}
y
(
k
)
=
C
x
(
k
)
+
D
u
(
k
)
{\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)}
在时间
k
{\displaystyle k}
x
(
k
)
{\displaystyle x(k)}
u
(
k
)
{\displaystyle u(k)}
y
(
k
)
{\displaystyle y(k)}
可观测性 ，可以用系统输出
y
(
k
)
{\displaystyle y(k)}
受控体的观测器模型可以用上式来推导，也可以加入额外的项，确保观测器在持续收到系统的输入及输出时，其状态可以收敛到受控体的状态。可以将系统的输出减去观测器的输出，再乘以矩阵
L
{\displaystyle L}
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k)}
y
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)}
x
^
(
k
+
1
)
=
A
x
^
(
k
)
+
L
[
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
]
+
B
u
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}
y
^
(
k
)
=
C
x
^
(
k
)
+
D
u
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)}
观测器渐近收敛的条件是观测器误差
e
(
k
)
=
x
^
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)}
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
因为控制的需求，观测器的输出除了作为观测器的输入，也会透过增益矩阵
K
{\displaystyle K}
u
(
k
)
=
−
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle u(k)=-K{\hat {x}}(k)}
观测器的方程式会变成：
x
^
(
k
+
1
)
=
A
x
^
(
k
)
+
L
(
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
)
−
B
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)-BK{\hat {x}}(k)}
y
^
(
k
)
=
C
x
^
(
k
)
−
D
K
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)}
或是
x
^
(
k
+
1
)
=
(
A
−
B
K
)
x
^
(
k
)
+
L
(
y
(
k
)
−
y
^
(
k
)
)
{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left(y(k)-{\hat {y}}(k)\right)}
y
^
(
k
)
=
(
C
−
D
K
)
x
^
(
k
)
{\displaystyle {\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)}
因为控制理论中的分离原理 ，可将估测器以及控制器分开设计, 因此可以选择
K
{\displaystyle K}
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
A
−
B
K
{\displaystyle A-BK}
连续系统中的观测器和离散系统中的类似。会选择观测器增益
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
赫维兹矩阵 时会成立）
针对连续时间线性系统
x
˙
=
A
x
+
B
u
,
{\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu,}
y
=
C
x
+
D
u
,
{\displaystyle y=Cx+Du,}
其中
x
∈
R
n
,
u
∈
R
m
,
y
∈
R
r
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}}
x
^
˙
=
A
x
^
+
B
u
+
L
(
y
−
y
^
)
{\displaystyle {\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)}
y
^
=
C
x
^
+
D
u
,
{\displaystyle {\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du,}
观测器误差
e
=
x
−
x
^
{\displaystyle e=x-{\hat {x}}}
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
{\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}
若
[
A
,
C
]
{\displaystyle [A,C]}
可观测性 ，可以适当选择观测器增益
L
{\displaystyle L}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
A
−
L
C
{\displaystyle A-LC}
赫维兹矩阵 ，让观测器误差
e
(
t
)
{\displaystyle e(t)}
若观测器增益
L
{\displaystyle L}
[ 1] 滑动模式控制 技术（滑动模式观测器 ），使观测器在有量测误差的情形下，在有限时间内使观测器状态误差变成零，其他有误差的状态，其行为会类似峰值减弱后的伦伯杰观测器。滑动模式观测器类似卡尔曼滤波 ，有较理想的抗噪声能力[ 2] [ 3]
另一种作法是用多观测器（multi observer），可以显著的改善暂态，抑制观测器的过冲。多观测器可以适用在所有适用高增益的系统[ 4]
针对非线性系统 ，最常用的是高增益状态观测器、滑动模式观测器 以及扩展观测器。
为了说明非线性系统中的状态观测器，先考虑以下的无输入非线性系统：
x
˙
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}
其中
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
y
∈
R
{\displaystyle y\in \mathbb {R} }
y
=
h
(
x
)
.
{\displaystyle y=h(x).}
有许多设计观测器的非近似式作法。以下提到的观测器也可以适用于有输入的系统
x
˙
=
f
(
x
)
+
B
(
x
)
u
,
{\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+B(x)u,}
y
=
h
(
x
)
,
{\displaystyle y=h(x),}
Krener和Isidori[ 5] [ 6] 微分同胚 ，类似回授线性化 ）
z
=
Φ
(
x
)
{\displaystyle z=\Phi (x)}
z
˙
=
A
z
+
ϕ
(
y
)
,
{\displaystyle {\dot {z}}=Az+\phi (y),}
y
=
C
z
.
{\displaystyle y=Cz.}
伦伯杰观测器可以设计为
z
^
˙
=
A
z
^
+
ϕ
(
y
)
−
L
(
C
z
^
−
y
)
{\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)}
转换后变数
e
=
z
^
−
z
{\displaystyle e={\hat {z}}-z}
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
{\displaystyle {\dot {e}}=(A-LC)e}
Gauthier、Hammouri和Othman[ 7] [ 8]
z
=
Φ
(
x
)
{\displaystyle z=\Phi (x)}
z
˙
=
A
(
u
(
t
)
)
z
+
ϕ
(
y
,
u
(
t
)
)
,
{\displaystyle {\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),}
y
=
C
z
,
{\displaystyle y=Cz,}
则观测器可以设计如下
z
^
˙
=
A
(
u
(
t
)
)
z
^
+
ϕ
(
y
,
u
(
t
)
)
−
L
(
t
)
(
C
z
^
−
y
)
{\displaystyle {\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)}
其中
L
(
t
)
{\displaystyle L(t)}
Ciccarella、Dalla Mora和Germani[ 9]
多观测器（Multi observer）是高增益观测器的扩展，由一个观测器到多个观测器一起使用，可以让多个模型同时作用。多观测器会分为二层：一层包括了多个高增益观测器，有相关同一组状态旳不同的估测量，第二层决定第一层各估测量的权重。此算法很容易实现，其中也没有微分等有危险性的运算[ 4] [ 10]
假设高增益观测器有n+1个
x
k
^
˙
(
t
)
=
A
x
k
^
(
t
)
+
B
ϕ
0
(
x
^
(
t
)
,
u
(
t
)
)
−
L
(
y
k
^
(
t
)
−
y
(
t
)
)
{\displaystyle {\dot {\hat {x_{k}}}}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))}
y
k
^
(
t
)
=
C
x
k
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)}
其中
k
=
1...
n
+
1
{\displaystyle k=1...n+1}
L
{\displaystyle L}
x
k
(
0
)
{\displaystyle x_{k}(0)}
x
k
(
t
)
{\displaystyle x_{k}(t)}
k
=
1...
n
+
1
{\displaystyle k=1...n+1}
y
k
^
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
x
k
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)}
其中
α
k
∈
R
{\displaystyle \alpha _{k}\in \mathbb {R} }
假设
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
ξ
k
(
t
)
=
0
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0}
且
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
=
1
{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1}
其中
ξ
k
∈
R
n
×
1
{\displaystyle \xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}}
k
{\displaystyle k}
e
k
(
t
)
{\displaystyle e_{k}(t)}
经过转换，可以得到以下的线性回归问题
[
−
ξ
n
+
1
(
t
)
]
=
[
ξ
1
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
…
ξ
k
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
…
ξ
n
(
t
)
−
ξ
n
+
1
(
t
)
]
T
[
α
1
(
t
)
⋮
α
k
(
t
)
⋮
α
n
(
t
)
]
{\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}
根据上式，有可能估算
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
m
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
ξ
k
(
t
)
=
m
(
e
k
(
t
)
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
σ
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
k
(
t
)
e
k
(
t
)
{\displaystyle e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)}
将
η
k
(
t
)
=
y
^
k
(
t
)
−
y
(
t
)
{\displaystyle \eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)}
n
{\displaystyle n}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
ξ
k
(
t
)
=
[
1
0
0
⋯
0
C
L
1
0
⋯
0
C
A
L
C
L
1
⋯
0
C
A
2
L
C
A
L
C
L
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
C
A
n
−
2
L
C
A
n
−
3
L
C
A
n
−
4
L
⋯
1
]
[
∫
t
−
t
d
t
n
−
1
⋯
∫
t
−
t
d
t
η
k
(
τ
)
d
τ
⋮
η
(
t
)
−
η
(
t
−
(
n
−
1
)
t
d
)
]
{\displaystyle \xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}}
其中
t
d
>
0
{\displaystyle t_{d}>0}
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle \xi _{k}(t)}
η
k
(
t
)
{\displaystyle \eta _{k}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
α
^
k
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}_{k}(t)}
k
=
1
…
n
+
1
{\displaystyle k=1\dots n+1}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
ξ
(
t
)
=
∑
k
=
1
n
+
1
α
^
k
(
t
)
ξ
k
(
t
)
{\displaystyle e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)}
其中
e
ξ
(
t
)
∈
R
n
×
1
,
α
^
k
(
t
)
∈
R
{\displaystyle e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R} }
α
^
(
t
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}(t)}
α
k
(
t
)
{\displaystyle \alpha _{k}(t)}
e
ξ
(
t
)
=
0
{\displaystyle e_{\xi }(t)=0}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
{\displaystyle x}
[ 4]
边界观测器（Bounding observers）[ 11] [ 12] [ 13]
边界范围在实际应用上非常重要[ 14] [ 15]
在数学上，若适当的选择
L
{\displaystyle L}
正向系统 特性[ 16]
x
^
U
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)}
不确定性 的情形下，确保在
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
e
(
k
)
=
x
^
U
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)}
x
^
L
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{L}(k)}
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
e
(
k
)
=
x
^
L
(
k
)
−
x
(
k
)
{\displaystyle e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)}
x
^
U
(
k
)
≥
x
(
k
)
≥
x
^
L
(
k
)
{\displaystyle {\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)}
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![{\displaystyle {\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922733eafc60e3a2259b8262ff53663ad98f6ac9)
![{\displaystyle [A,C]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077be06e7e743c6266cd0e96d203e6666fd48661)
Multi Observer Schema
![{\displaystyle [-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14061e852da1a07905f0135efdc64ef7c62911f9)
