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自由积

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数学群论中,自由积(英语:free product,法语:produit libre)是从两个以上的构造出一个群的一种操作。两个群GH的自由积,是一个新的群GH。这个群包含GH子群,由GH的元素生成,并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群,除非GH其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群(由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群)相似。

自由积是群范畴中的余积

建构方式

GH是群,以GH形成的是以下形式的乘积:

其中siGH的元。这种字可以用以下的操作简化:

  • 除去其中的(GH的)单位元,
  • 将其中的g1g2一对元素以其在G中的积代替,将其中的h1h2一对元素以其在H中的积代替。

每个简约字都是G的元素和H的元素交替的积,例如:

自由积GH的元素是以GH形成的简约字,其上的运算是将两字接合后简化。

例如若G是无穷循环群<x>,H是无穷循环群<y>,则GH的元素是x的幂和y的幂交替的积。此时GH同构于以xy生成的自由群

是群的一个族。用形成的字,也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出自由积

展示

G的一个展示SG是生成元的集合,RG是关系元的集合),又设

H的一个展示。那么

即是GHG的生成元和H的生成元所生成,而其关系是G的关系元和H的关系元所组成。(两者都是不交并。)

性质

  • 自然地映射到群同态内射,故此这个群同态将嵌入中为子群。

泛性质

自由积亦可由以下泛性质定义:设G是群,是由群组成的一个族,有一族群同态。那么存在唯一的群同态,使得对所有都有

其中是把嵌入到中的群同态。

共合积

共合积(英语:amalgamated (free) productfree product with amalgamation,法语:produit (libre) amalgamé)是自由积的推广。设GH是群,又设F是另一个群,并有群同态

F中所有元素f,在自由积GH中加入关系

便得出其共合积。换言之,在GH中取最小的正规子群N,使得上式左方的元素都包含在内,则商群

就是共合积

共合积可视为在群范畴中图表推出

塞弗特-范坎彭定理指,两个路径连通拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的,其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。

共合积及与之相近的HNN扩张,是讨论在作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。

参考