在数学的群论中,自由积(英语:free product,法语:produit libre)是从两个以上的群构造出一个群的一种操作。两个群G和H的自由积,是一个新的群G ∗ H。这个群包含G和H为子群,由G和H的元素生成,并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群,除非G和H其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群(由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群)相似。
自由积是群范畴中的余积。
建构方式
若G和H是群,以G和H形成的字是以下形式的乘积:
![{\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11d32b285372aa62f89e8b0988da8266bc5795a)
其中si是G或H的元。这种字可以用以下的操作简化:
- 除去其中的(G或H的)单位元,
- 将其中的g1g2一对元素以其在G中的积代替,将其中的h1h2一对元素以其在H中的积代替。
每个简约字都是G的元素和H的元素交替的积,例如:
![{\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4481c70b5cbb81eb165cd3b219dd97d8efc22c85)
自由积G ∗ H的元素是以G和H形成的简约字,其上的运算是将两字接合后简化。
例如若G是无穷循环群<x>,H是无穷循环群<y>,则G ∗ H的元素是x的幂和y的幂交替的积。此时G ∗ H同构于以x和y生成的自由群。
设
是群的一个族。用
形成的字,也可以用上述操作简化为简约字。仿上可定义出
的自由积
。
展示
设
![{\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0703e854d43f5deaa0b38b451962d792da5e91)
是G的一个展示(SG是生成元的集合,RG是关系元的集合),又设
![{\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7879822d44238fec3fc60c9481efa78707ea341)
是H的一个展示。那么
![{\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54a7fb2db036fdb8c9e00210c3f585e3dc07018)
即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成,而其关系是G的关系元和H的关系元所组成。(两者都是不交并。)
性质
- 将
自然地映射到
的群同态是内射,故此这个群同态将
嵌入到
中为子群。
泛性质
自由积亦可由以下泛性质定义:设G是群,
是由群组成的一个族,有一族群同态
。那么存在唯一的群同态
,使得对所有
都有
![{\displaystyle \phi _{i_{0}}=\phi \circ \iota _{i_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e0bfd8daca21b99a7a702b5f9e7a958ff6d933)
其中
是把
嵌入到
中的群同态。
共合积
共合积(英语:amalgamated (free) product或free product with amalgamation,法语:produit (libre) amalgamé)是自由积的推广。设G和H是群,又设F是另一个群,并有群同态
及 ![{\displaystyle \psi \colon F\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433898ea67c4c8378ada58b7c4f2b4e37c0fce7f)
对F中所有元素f,在自由积G ∗ H中加入关系
![{\displaystyle \phi (f)\psi ^{-1}(f)=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fef49f9dc685b04c7b2e6bd6eccf33a33587dd)
便得出其共合积。换言之,在G ∗ H中取最小的正规子群N,使得上式左方的元素都包含在内,则商群
![{\displaystyle (G*H)/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d752829c6739493e3faf553046839f4eae74526)
就是共合积
。
共合积可视为在群范畴中图表
的推出。
塞弗特-范坎彭定理指,两个路径连通的拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的并,其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。
共合积及与之相近的HNN扩张,是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。
参考