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选择函数

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选择函数是一个函数f,其定义域X为一堆非空集合组成的集合,且对每一个在X内的S,均有f(S)∈S。换句话说,f会在X的每一集合中恰好选取一个元素。

选择公理(AC)断言,每一非空集合组成的集合都会有一选择函数。另一较弱的选择公理-可数选择公理(CC)则断言每一非空集合组成的可数集合都会有一选择函数。但无论如何,即使没有AC或CC,某些集合还是可以有选择函数。

  • X为一非空集合组成的有限集合,则可以建立一选择函数,由每一个X的元素内选取一个元素。这只需要做有限多次的选择,所以不需要用到AC或CC。
  • X的每一元素都是非空的良序集,则可以由每一个X的元素中选取其极小元。如此,或许需要有无限多次的选择,但我们有明确的选择规则,所以也不需要AC或CC。分辨“良序”和“可良序”是很重要的:当X的元素都是可良序的,那么我们需要选取每一元素的一良序,而这又可能需要无限多次随意的选择,因此需要有AC(或CC,若X为可数无限)。
  • X的每一元素都是非空集合,且其联集为可良序的,则有可能可以选择一此联集的良序,且给X内每一元素诱导出相应的良序,如此一个选择函数就可以如前述例子一样地存在。在此一例子里,可以只做一次选择便决定X内每一元素的良序,故不需要AC或CC。(此一例子表示出若良序定理成立,即每一集合若皆可良序的话,则AC成立。其逆命题亦为真,但并不那么显然。)

参见

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