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魔群

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群论


魔群(英语:Monster group)或怪兽群,或友善巨人(the Friendly Giant)或费希尔─格里斯怪兽(Fischer-Griess Monster),是一个有限单群,是26个散在群的其中之一,一般常将之记作MF1

怪兽群的是26个散在群中最大的,其阶为

246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
8 · 1053

有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中,或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中,那26个的“散单群”中。而怪兽群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个,其余的散单群均是怪兽群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs),并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。

或许对怪兽群最好的定义方式,就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群英语Fischer group的有限单群中阶最小者(怪兽群虽为散在群中阶最大的,但这不表示它是所有有限单群中阶最大的,其他类的有限单群中有阶比其更大者存在)。

存在性与唯一性

怪兽群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费希尔(Bernd Fischer,他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测,他们当时认为存在一个单群,该单群包含子怪兽群中做为某个对合中心化子的某个双覆盖。数月后,M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出,而费希尔(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商,被包含的群包括了许多已知的散单群,此外他们还发现了两个新的单群:汤普森群原田-诺顿群。格里斯将怪兽群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。

格里斯的建构证明了怪兽群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出,然而他从未发表此证明的细节。第一个关于怪兽群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

月光猜想

怪兽群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关,并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。

在此设定下,怪兽群可由怪兽群模组的自同构群示现:亦即由一作用在怪兽李代数上,属广义Kac–Moody代数,且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。


表示与维度

  一个忠实的复数表示的最小度数是196,883,它是怪兽群阶数可分得3个因子乘积的分割。当中怪兽群的最小忠实排列表示是 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (约 1020)点。他可被视为有理数上的一个伽罗瓦群(Thompson 1984,p. 443)而实现,并视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)(Wilson 2004)

  怪兽群在单群中并不平常,因并没有已知的简单规则或方法可表示他的元素,而这并非起因于他大小的表示因素。例如,单群"A"100和SL20(2)相对是大,但容易计算,因为它们是具已知的置换或线性表示;交错群具有与之的大小相较下的置换表示,且所有有限单李型式群有线性表示。除了怪物群之外的所有散单群体也具有足够小的线性表示,以至于它们易于在计算机上工作(而难度仅次于怪物群的,为可分割成维度4370的小怪兽群(baby Monster)表示)。

麦凯的E8观察

怪兽群和扩张登金图(Dynkin diagram)亦存在着关系,其关联在图结点与怪兽群同余类之间表现得更明显,此关联又被称作“麦凯的E8观察”(McKay's E8 observation)[1][2]

子群结构

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪兽群包含了至少44个共轭类极大子群。六十数种同构类型的非交换单群,亦包含在怪兽群中,做为怪兽群的子群或子群的商群。

怪兽群的子群包括了26个散在群中的多数,但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的,表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含,并为其上的群的子商。圈起来的符号,表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明,多余的包含关系在此图中未表示。


  • 2.B   对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2 。
  • 21+24.Co1   对合的中心化子。
  • 3.Fi24  阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。
  • 22.2E6(22):S3   一Klein 4-群的正规化子。
  • 210+16.O10+(2)
  • 22+11+22.(M24 × S3)   一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S4
  • 31+12.2Suz.2   阶数3子群的正规化子。
  • 25+10+20.(S3 × L5(2))
  • S3 × Th   阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S3
  • 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6)
  • 38.O8(3).23
  • (D10 × HN).2   阶数5子群的正规化子。
  • (32:2 × O8+(3)).S4
  • 32+5+10.(M11 × 2S4)
  • 33+2+6+6:(L3(3) × SD16)
  • 51+6:2J2:4   阶数5子群的正规化子。
  • (7:3 × He):2   阶数7子群的正规化子。
  • (A5 × A12):2
  • 53+3.(2 × L3(5))
  • (A6 × A6 × A6).(2 × S4)
  • (A5 × U3(8):31):2   含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A5):2 。
  • 52+2+4:(S3 × GL2(5))
  • (L3(2) × S4(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L3(2)).2 。
  • 71+4:(3 × 2S7)   阶数7子群的正规化子。
  • (52:4.22 × U3(5)).S3
  • (L2(11) × M12):2   包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M12):2 。
  • (A7 × (A5 × A5):22):2
  • 54:(3 × 2L2(25)):22
  • 72+1+2:GL2(7)
  • M11 × A6.22
  • (S5 × S5 × S5):S3
  • (L2(11) × L2(11)):4
  • 132:2L2(13).4
  • (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2
  • (13:6 × L3(3)).2   阶数13子群的正规化子。
  • 131+2:(3 × 4S4)   阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。
  • L2(71)   Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。
  • L2(59)   Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。
  • 112:(5 × 2A5)   Sylow 11-子群的正规化子。
  • L2(41)   Norton & Wilson (2013) 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。
  • L2(29):2   Holmes & Wilson (2002)
  • 72:SL2(7)  一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
  • L2(19):2   Holmes & Wilson (2008)
  • 41:40   一Sylow 41-子群的正规化子。

相关条目

脚注

  1. ^ Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram Archive.is存档,存档日期2012-07-13, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
  2. ^ le Bruyn, Lieven, the monster graph and McKay’s observation, 22 April 2009, (原始内容存档于2010-08-14) 

参照

外部链接