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上升时间

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在电子学中,若要描述一电路在电压(或电流阶跃函数下的反应,可用上升时间(rise time)表示。上升时间是信号从特定低准位上升到特定高准位需要的时间[1],值可以用相对参考输入的比率[2]或是百分比[3]来表示。在模拟电路中,其较低百分比及较高百分比多半会是输出阶跃高度的10%及90%(或0.10.9[4]。不过,也常会使用其他的值[5]若是在控制理论中,依照Levine (1996,第158页),上升时间定义为“响应从终值的x%上升到y%所需要的时间”,若是欠阻尼的二阶系统,常会以0%至100%的上升时间为准,若是临界阻尼系统,则会是5%至95%的,过阻尼系统会是10%到90%的上升时间[6]。依照Orwiler (1969,第22页),上升时间可以用在阶跃上升或是阶跃下降的阶跃响应,不过阶跃下降的场合,有时也会称是下降时间[7]

简介

上升时间是高速电子电路中重要的类比参数,可以量测在高速输入信号时,系统响应的能力[8]。针对电路、产生器、资料量测及传输设备的上升时间,已有许多的方法可以进行缩减。这些缩减也开始了更高速电子元件或电路的研究,以及研究如何减少电路中的杂散元件(多半是电感及电容)。不过在高速电子学的领域之外,有些应用会希望有较长的上升时间,例如灯光的调光器英语dimming,其上升时间较长会延长灯泡的寿命,或是用数位信号控制类比开关英语analog switch,较长的上升时间表示流经杂散电容的量会比较少,因此耦合产生的噪音也会比较少。。

影响上升时间的因素

针对给定系统的输出,其上升时间和输入信号的上升时间有关,也和系统特特性有关[9]

例如,电阻性电路的上升时间主要会和杂散电容及杂散电感有关。因为所有电路都不只有电路性的元件,也会有电容性或电感性的元件,在负载到达稳态之前,会有电压及(或)电流的延迟。若是纯RC电路,输出的上升时间(10%至90%)约是电阻值(单位为欧姆)和电容值(单位为法拉)乘积的2.2倍,2.2 RC[10]

其他定义

有关上升时间,也有其他和Levine (1996,第158页)不同的定义,偶尔会出现:[11]。这些定义的差异不只是参考准位的不同,也有些有不同的算法。例如有一种上升时间的定义是考虑阶跃函数响应50%时的切线,再绘图计算和X轴的截距得到上升时间,偶尔会用到这种定义[12]。另一种定义是由Elmore (1948,第57页)引入[13],用到概率论统计学的概念。考虑阶跃响应 V(t),重新定义传播延迟 tD为一次导数V′(t),也就是

最后,用以下的二次矩来定义上升时间tr

典型系统的上升时间

符号及标示

所有分析用到的符号及假设条列如下:

  • 根据Levine (1996, p. 158, 2011, 9-3 (313)),定义x%为低准位的百分比,y%为高准位的百分比,参考基准都以要量测上升时间信号的参考信号为准。
  • t1是待分析系统的输出到达稳态值x%的时间,而t2是输出到达稳态值y%的时间,两者单位都是
  • tr是待分析系统的上升时间,单位也是秒。依照定义
  • fL为待分析系统较低截止频率(-3 dB点)的值,单位为赫兹
  • fH为待分析系统较高截止频率的值,单位也是赫兹。
  • h(t)是待分析系统在时域下的冲激响应
  • H(ω)是待分析系统在频域下的频率响应
  • 带宽定义为
因为较低的截止频率fL往往远小于较高截止频率fH,因此
  • 所有分析的系统,其频率响应都延伸到0(低通系统),因此

计算上升时间的简单范例

此章节的目的是计算一些简单系统阶跃响应的上升时间。

高斯响应系统

系统具有高斯响应的条件是其频率响应特征如下

其中σ > 0为常数[14],和高截止频率有以下的关系:

即使这类的频率响应无法用因果滤波器英语causal filter实现[15]。其用途是因为其系统特性可以用多个一级低通滤波器级联连结而得,其精度会随著个数增加而变好[16]。对应的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换计算而得。

直接代入阶跃响应的定义

为了要确认系统由10%上升到90%需要的时间,需要求解以下方程:

利用误差函数的定义,可以找到t =  - t1 = t2的数值,因为tr = t2 - t1 = 2t,

因此

[17]

一阶低通RC电路

针对一阶低通RC电路[18],10%至90%的上升时间和网路时间常数τ = RC成正比:

比例常数可以用输入信号为V0的阶跃函数时,系统的阶跃反应而得:

求解时间

最后可得

t1t2满足以下条件

求解方程可得t1t2的解析式

上升时间和时间常数成正比[19]

另外,根据

因为上截止频率等于频宽

[17]

另外,若考虑20%至80%的上升时间,tr会变成:

一阶低通LR电路

等于一个简单的一阶低通RL电路,其10%至90%的上升时间和电路时间常数τ = LR成正比。其和RC电路的差异只在于不同电路中时间常数τ的表示方式不同。因此可得到下式

阻尼二阶系统

根据Levine (1996,第158页),控制系统中欠阻尼系统的上升时间定义为输出从0%到达终值100%的时间[6]。二阶欠阻尼系统的上升时间如下[20]

没有零点的二阶系统,其阶跃响应下的正规上升时间可以二次函数近似如下:

ζ阻尼比ω0是电路的自然频率

级联模组的上升时间

考虑n个非交联的级联模组组成的系统,每一个的上升时间为tri, i = 1,...,n,其阶跃响应没有过冲,假设第一个模组的输入信号的上升时间为trS.[21]。其输出的上升时间tr0

依照Valley & Wallman (1948,第77–78页),此结果可以用中心极限定理来说明,已由Wallman (1950)证明[22][23]。此问题的详细分析可以参考Petitt & McWhorter (1961,§4–9, pp. 107–115),[24],他指出Elmore (1948)是第一个用比较严谨的基础证明上述公式的人[25]

相关条目

脚注

  1. ^ rise time, Federal Standard 1037C, August 7, 1996 [2019-12-31], (原始内容存档于2016-06-24) 
  2. ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p.6 and p.306), (Millman & Taub 1965,第44页) and (Nise 2011,第167页).
  3. ^ 例如Levine (1996,第158页), (Ogata 2010,第170页) and (Valley & Wallman 1948,第72页).
  4. ^ 例如(Cherry & Hooper 1968,p. 6 and p. 306), (Millman & Taub 1965,第44页) and (Valley & Wallman 1948,第72页).
  5. ^ 例如 Valley & Wallman (1948,p. 72, footnote 1)有提到:“有些应用会量测5%到95%的上升时间,或是1%到99%的上升时间。”
  6. ^ 6.0 6.1 精确来说,Levine (1996,第158页)有提到:“上升时间是从终值的x%上升到y%需要的时间。若是过阻尼控制系统,多半会使用0%至100%的上升时间,若是欠阻尼系统 (...) 多半会使用10%至90%的上升时间。”。不过过阻尼二阶控制系统使用0%至100%的上升时间是不正确的,因为此定义下的上升时间会是无限大。类似RC电路上升时间的例子。在(Levine 2011,第9-3 (313)页)的第二版也有类似的文字。
  7. ^ 仍是依照Orwiler (1969,第22页)的定义
  8. ^ 依照Valley & Wallman (1948,第72页)“若要复制阶跃函数或是方波的上升缘,最重要的参数就是上升时间,一般是量测10%至90%之间的时间,另一个则是过冲。”,依照Cherry & Hooper (1969,第306页)“放大器在方波响应下,最重要的二个参数是上升时间以及倾斜百分比。”
  9. ^ 参考(Orwiler 1969,第27–29页)及级联模组的上升时间章节
  10. ^ 参考(Valley & Wallman 1948,第73页)、(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)中的范例,或是一阶低通RC电路章节
  11. ^ 可参考 (Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,第56页)。
  12. ^ 参考(Valley & Wallman 1948,p. 72, footnote 1)及(Elmore 1948,p. 56 and p. 57, fig. 2a).
  13. ^ 参考(Petitt & McWhorter 1961,第109–111页)
  14. ^ 参考(Valley & Wallman 1948,第724页)及(Petitt & McWhorter 1961,第122页).
  15. ^ 根据Paley-Wiener准则英语Paley-Wiener criterion,像是(Valley & Wallman 1948,p. 721 and p. 724)中所提到的。Petitt & McWhorter (1961,第122页)也简单说明此事实
  16. ^ 参考(Valley & Wallman 1948,第724页), (Petitt & McWhorter 1961,p. 111, including footnote 1, and p.)及(Orwiler 1969,第30页).
  17. ^ 17.0 17.1 Compare with (Orwiler 1969,第30页).
  18. ^ 也称为“单极点滤波器”,例如(Cherry & Hooper 1969,第639页)
  19. ^ 比较(Valley & Wallman 1948,p. 72, formula (2))、 (Cherry & Hooper 1969,p. 639, formula (13.3))或(Orwiler 1969,p. 22 and p. 30)的内容
  20. ^ See (Ogata 2010,第171页).
  21. ^ "S表示“来源”,可能是电流源电压源
  22. ^ 这份一页的论文没有任何计算。Henry Wallman英语Henry Wallman列出了一个他称为词典的表,将电子工程概率论的概念并排。关键是使用拉普拉斯变换。接著他提到,依照词典中这些概念的结果。计多级联模组的阶跃响应可以对应中心极限定理,并且提到:“这是重要的实务结果,前提是电路没有过冲,其反应时间会随著级联个数而增加,约和个数的均方根成正比。”(Wallman 1950,第91页).
  23. ^ 也可以参考(Cherry & Hooper 1969,第656页)及(Orwiler 1969,第27–28页).
  24. ^ 由(Cherry & Hooper 1969,第656页)引用
  25. ^ 参考(Petitt & McWhorter 1961,第109页).

参考资料