在数学中,一个李群 G 的伴随表示(adjoint representation)或伴随作用(adjoint action)是 G 在它自身的李代数上的自然表示。这个表示是群 G 在自身上的共轭作用的线性化形式。
正式定义
设 G 是一个李群,
是它的李代数(我们将其等价于 G 中恒同元素的切空间 TeG)。利用方程
对 g 属于 G,定义一个映射
![{\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a8b1382625da42af1376c9d7bce7d8317ff73)
这里
是 G 的自同构群而自同构
定义为
对所有 h 属于 G。
从而 Ψg 在恒同处的微分是李代数
的一个自同构。我们记这个映射为 Adg:
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228fe27d0353bb3dd93855eca337d0c2b528b1ee)
所谓 Adg 是一个李代数自同构是说 Adg 是
的一个保持李括号的线性变换。映射
![{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116843b5c304c3f590b98585ad17ee9fc6a1ffeb)
将 g 映为 Adg 称为 G 的伴随表示(adjoint representation)。这确实是 G 的一个表示因为
是
的一个李子群且如上伴随映射是李群同态。伴随表示的维数与群 G 的维数相同。
李代数的伴随表示
我们可以由李群 G 的一个表示通过在恒同处取导数变为它的李代数的表示。取伴随映射的导数
![{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ca490ada724c898a49bab2b415877947965a04)
给出李代数
的伴随表示:
![{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fb50eaf89ced99263845d9815a4586ab3134cf)
这里
是
的李代数,可以与
上的导子代数等同。李代数的伴随表示与这个代数的结构有基本的联系。特别地,我们可以证明
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
对所有
成立。详情请见李代数的伴随表示。
例子
- 如果 G 是一个 n 维阿贝尔群,G 的伴随表示是n 维平凡表示。
- 如果 G 是一个矩阵李群(即 GL(n,C) 的一个闭子群),则它的李代数是一个以交换子作李括号的 n×n 矩阵代数(即
的子代数)。此时,伴随映射由 Adg(x) = gxg−1 给出。
- 如果 G 是 SL2(R)(行列式为 1 的 2×2 实矩阵),G 的李代数由迹 0 实 2×2 矩阵组成。这个表示等价于 G 在两个变量二次型空间上通过线性替换给出的作用。
性质
下表总结了定义中提到的不同映射的性质
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李群同态:
![{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a06584ea23178fb00ee0979edfc347c6edd072c)
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李群自同态:
![{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8eb08a00f6215529b65bad66337ab6b9d2320aa)
![{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f729805843aa79d47ae8a90ec12deb941afcd75)
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李群同态:
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364be280d2e4fc7b31422a4ac3655efb4f51c9dc)
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李代数自同态:
线性
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李代数同态:
线性
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1b8b6ed9c2ebf23cc2720cf4a8845d957ee1c)
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李代数导子:
线性
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G 在伴随映射下的像记为 AdG。如果 G 连通,则伴随表示的核与 Ψ 的核相同,就是 G 的中心。从而,如果 G 中心平凡,则连通李群 G 的伴随表示是忠实的。进一步,如果 G 不连通,伴随映射的核是 G 的单位分支 G0 的中心化子。由第一同构定理我们有
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509182dd798e08f963649b4697524c3643ff7cd)
半单李群的根
如果 G 半单,伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事,考虑特例 G=SLn(R)。
我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff75094b371aec2d042747d1550a73ac362aa89)
从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡,在非对角元素上有本征向量 titj-1。G 的根是权
diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为ei−ej 形式的向量集合的标准描述之说明。
变体与类比
伴随表示也能对任何域上的代数群定义。
馀伴随表示(co-adjoint representation)是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫(Alexandre Kirillov)观察到任何向量在馀伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学(另见卡里洛夫特征标公式(Kirillov character formula)),一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。
参考
- Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6
- Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0