全状态回授 (Full state feedback)也称为极点安置 (pole placement),是反馈 控制系统理论中的一种控制方式,规划受控体 的闭回路极点 在S平面 中事先定义的位置上[ 1] 。在规划控制系统时,会希望可以规划极点的位置,因为极点位置直接对应系统的特征值 ,而特征值直接影响系统的反应特性。若要用此方法控制,系统必须有可控制性 。在多输入及多输出的系统中常用此方式控制,例如主动悬架系统[ 2] 。
原理
开回路的系统
若系统的开回路特性可以用状态 方程式来表示[ 3]
x
_
˙
=
A
x
_
+
B
u
_
,
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}
而其输出方程式为
y
_
=
C
x
_
+
D
u
_
,
{\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}
则系统转移函数的极点也就是以下特征方程的根
|
s
I
−
A
|
=
0.
{\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}
全状态回授是利用输入向量
u
_
{\displaystyle {\underline {u}}}
来达成。考虑一输入可以表示为一矩阵和状态向量的乘积,
有状态回授的系统(闭回路)
u
_
=
−
K
x
_
{\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}
.
将输入向量替换到原来的状态方程:
x
_
˙
=
(
A
−
B
K
)
x
_
;
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};}
y
_
=
(
C
−
D
K
)
x
_
.
{\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}
全状态回授系统的极点是矩阵
A
−
B
K
{\textstyle A-BK}
特征方程的根,
det
[
s
I
−
(
A
−
B
K
)
]
=
0
{\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}
。比较方程式的项以及理想特征方程的系数,可以得到回授矩阵
K
{\displaystyle {\textbf {K}}}
的值,也就是让闭回路特征值在理想特征方程极点上的对应矩阵。
全状态回授的例子
考虑状态方程如下的控制系统
x
_
˙
=
[
0
1
−
2
−
3
]
x
_
+
[
0
1
]
u
_
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}}
控制前的系统其闭回路极点在
s
=
−
1
{\displaystyle s=-1}
及
s
=
−
2
{\displaystyle s=-2}
。假设为了响应的考量,需让闭回路极点在
s
=
−
1
{\displaystyle s=-1}
及
s
=
−
5
{\displaystyle s=-5}
。理想特征方程为
s
2
+
6
s
+
5
=
0
{\displaystyle s^{2}+6s+5=0}
。
依上述步骤,可得
K
=
[
k
1
k
2
]
{\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}}
,而全状态回授的系统特征方程为
|
s
I
−
(
A
−
B
K
)
|
=
det
[
s
−
1
2
+
k
1
s
+
3
+
k
2
]
=
s
2
+
(
3
+
k
2
)
s
+
(
2
+
k
1
)
{\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})}
.
让此特征方程等于理想特征方程,因此可得
K
=
[
3
3
]
{\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}
.
因此,
u
_
=
−
K
x
_
{\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}
可以使闭回路极点在理想位置上,让响应也是理想值。
此作法只在单一输入的系统有效。多重输入的系统也会有K 矩阵,但不唯一。因此不一定可以很快找到最佳的K 值。此情形比较适合使用LQR控制器 。
相关条目
参考资料
外部链接