关于与“
卡诺定理 (内切圆、外接圆)”标题相近或相同的条目页,请见“
卡诺定理”。
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Carnot_theorem2.svg/345px-Carnot_theorem2.svg.png)
设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为
,
其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。
引理
在
中,
为
之外接圆半径,且
为
之内切圆半径,则
![{\displaystyle r=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6963ca97ff32d7ecae988804b3509338fb9f9403)
证明
假设
为锐角三角形,
为
之外接圆圆心,
至
三边之距离分别为
、
、
,其中
为
至
之距离,
为
至
之距离,
为
至
之距离。连接
与
,在
中,根据三角形外心性质,可以得到
![{\displaystyle {\overline {DB}}=R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6964133f891ddbf60a7ac1ea807f81e2d425a0)
![{\displaystyle \angle {HDB}=\angle {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09fdbd300871214b31ad548a59dad497ff50d13)
所以,可以得到
的表示式,
![{\displaystyle {\overline {DH}}=R\cos(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e24c40af1042c52fb029c0b6294689841248c0)
同理,亦可得到
和
的表示式,
![{\displaystyle {\overline {DG}}=R\cos(C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599ff3fc3f3ea5e6ff8ee276a43bfccdf63b9d20)
![{\displaystyle {\overline {DF}}=R\cos(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f8c3c64889cd06350b1a9f2d5ff5caf0dad2bd)
因此,
![{\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f123150d71fbd575606427f1c32512f4a5a245)
![{\displaystyle =R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6738b758eeb5b4bf5a449a534f7c16b34684ba6d)
![{\displaystyle =R(2\cos({\frac {A+B}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin ^{2}({\frac {C}{2}}))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dd065d2d45c4f366c637398838895437d246bf)
![{\displaystyle =R(2\cos({\frac {\pi -C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin({\frac {\pi -(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93df19ccd0d561b6039c040cc1e00091040bc5b9)
![{\displaystyle =R(2\sin({\frac {C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\cos({\frac {(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6211176baac7c631c88446c04d5a703d4039173)
![{\displaystyle =R(2\sin({\frac {C}{2}})(\cos({\frac {A-B}{2}})-\cos({\frac {(A+B)}{2}}))+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271407c2294bef8c5268fba64671809d86122e88)
![{\displaystyle =R(4\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+1)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33e558d05a9685d0b5cc66cf9990a4b0e6167db)
![{\displaystyle =4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+R\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320b7a68149e7a0d8c0a5caaf74907290e69d44b)
根据引理,即可得证,
![{\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}=R+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fe2b012c639e49ccc3a669082d2a6a00fdcac9)
此外,若
为钝角三角形,且
大于
度,其馀符号假设均与上面相同,则可以得到,
![{\displaystyle {\overline {DH}}=R\cos(A)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf83f3210d5e1547dafca8d68bc1d0c364ecd35)
![{\displaystyle {\overline {DF}}=R\cos(\pi -B)=-R\cos(B)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d2bc19ce1bb8b8082ba52943effea8b97d62e)
![{\displaystyle {\overline {DG}}=R\cos(C)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275723ba13123b58896ed27da8b1ca55d7a44125)
所以,
![{\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}-{\overline {DF}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14359084ef7ceb546fb943531bda92b8637ccc8)
![{\displaystyle =R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6738b758eeb5b4bf5a449a534f7c16b34684ba6d)
![{\displaystyle =R+r\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f4367c023a2ca69df84d9bfe6822d75016b714)
故得证卡诺定理。
参考资料