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反馀切

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反馀切

反馀切函数有多种定义方式
 绿色代表直接对馀切函数取反函数[函数 1]
 蓝色表示取最小正同界角[函数 2]
 红色表示在复变分析反馀切实数[函数 3]
性质
奇偶性
定义域 实数
到达域 [函数 2]
[函数 2]
[函数 3]
[函数 3]
周期 N/A
特定值
当x=0
(90°)
当x=+∞ 0
当x=-∞ [函数 2]
(180°[函数 2]
0[函数 3]
其他性质
渐近线 [函数 2]
[函数 2]
[函数 3]
无穷大
拐点 [函数 2]
[函数 2]
不动点 0.86033358901938...[函数 2][注 1]
±0.86033358901938...[函数 3]

反馀切(英语:arccotangent[3],记为:[4][5][6]arcctg[7]ACOT[8][1])又称为逆馀切,是一种反三角函数[9][2],对应的三角函数馀切函数,是利用已知直角三角形的邻边和对边这两条直角边长度的比值求出其夹角大小的函数,但其输入值和反正切的输入值互为倒数,是高等数学中的一种基本特殊函数

反馀切可以视为馀切反函数,但馀切函数周期函数且在实数上不具有一一对应的关系,所以不存在反函数,但也可以视为多值函数[函数 1][1],因此我们必须限制馀切函数的定义域使其成为单射满射也是可逆的。

一般最常见的方式是限制馀切函数定义域0π(180°)之间[10][1][11],如下图所示(以红色曲线表示),此时反馀切函数不是奇函数也不是偶函数,而是一个单调递减有界函数[12]最大值(180°)、最小值为0且函数连续,但有两条渐近线

另外一种定义方式是限制馀切函数定义域(±90°)之间[13],如下图所示[14](以红色曲线表示),这种限制方式与反正切相同,此时反馀切函数是奇函数,值域与其他相关性质皆与反正切类似,但函数并不连续。

由于馀切是周期函数,而上述二种定义方式皆是取馀切的一个周期,因此其定义域皆为实数。但当将反馀切函数扩展至复数时,会采用后者的定义方式[4]

但由于复变分析的定义方式会造成函数不连续[函数 3],在时有断点,因此应用在测量学上时会采用取最小同界角的方式[函数 2]避免断点[15]

反馀切函数经常记为[1]在外文文献中常记为[16][4][5][6],在一些旧的教科书中也有人记为arcctg,但那是旧的用法。根据ISO 31-11,应将反馀切函数记为,因为可能会与混淆,正切函数

反馀切表示馀切的反函数,因此是一个多值函数[1]。为了要符合函数定义,因此要对原函数加以限制,从而存在多种定义方式。最常见的定义方式有两种:

  1. 馀切函数限制在([0, 180°])的反函数[1],应用于测量学
  2. 馀切函数限制在)的反函数[2],应用于复变分析

在复变分析中则是采用第二种定义延伸至复数[4],并存在等式:

这个动作使反馀切被推广到复数

拓展到复数的反馀切函数

此外,反馀切函数[函数 3]也可以使用其他反三角函数进行定义[2]

直角坐标系中

直角坐标系中,反馀切函数可以视为已知直线垂线斜率的倾角,但是有可能差一个负号。

级数定义

反馀切函数可以使用无穷级数定义:

[函数 2]

时给出反馀切函数的泰勒展开式为[函数 3][17]

以上等式也可以直接用来表示取最小同界角的反馀切函数[函数 2]

也可以用当洛朗级数来定义,对应的情形:

[函数 3]

此外也有欧拉导出的无穷级数[18]

[函数 3]

性质

反馀切函数[函数 2]满足等式:

反馀切函数是一个递减函数。

在复变分析中,反馀切函数[函数 3]在当不等于零时是一个奇函数,因此满足下面等式:

反馀切虽有多种定义方式,但其在时值是一样的,为(90°)。在复变分析中时不连续左极和右极互为相反数[函数 3],而反馀切若是取最小同界角则在时连续。

反馀切函数的微分导数为[注 2]

除了反正切,反馀切函数同样可以表示梅钦类公式[19]

恒等式

下面恒等式均适用于函数2(取最小同界角的反余切函数)[函数 2]

如果
如果

和差

积分

参见

注释

  1. ^ Wolfram, Stephen. "FindRoot[ArcCot[x] == x, {x, 1}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] (英语). 
  2. ^ 微分导数在三种定义下皆相同,但第三种定义在0不可微
不同的反馀切定义
  1. ^ 1.0 1.1 直接对馀切函数取反函数 ,是多值函数
  2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 取最小同界角的反馀切函数[1]
  3. ^ 3.00 3.01 3.02 3.03 3.04 3.05 3.06 3.07 3.08 3.09 3.10 3.11 3.12 复变反馀切函数的实数[2]

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Zwillinger, D. (Ed.). "Inverse Circular Functions." §6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae页面存档备份,存于互联网档案馆). Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 465-467, 1995.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent页面存档备份,存于互联网档案馆)." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  3. ^ 反餘切arccotangent反余切-学术名词资讯 Archive.is存档,存档日期2014-08-08 国家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07]
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing页面存档备份,存于互联网档案馆). New York: Dover, pp. 79-83, 1972.
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  6. ^ 6.0 6.1 Jeffrey, A. "Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions." §2.7 in Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 124-128, 2000.
  7. ^ Т. Л. Корнієнко,В. І. Фіготіна. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. Академічний рівень: Розробки уроків. Ranok Publishing House Ltd. : 205. ISBN 9786115403899. 乌克兰文
  8. ^ ACOT 函数页面存档备份,存于互联网档案馆) office.microsoft.com [2014-08-07]
  9. ^ Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr.
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  13. ^ Denise Szecsei. Trigonometry. Homework helpers. Career Press. 2006: 87. ISBN 9781564149138. LCCN 2006028234. 
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  15. ^ Domain of Arccot页面存档备份,存于互联网档案馆) mathforum.org [2014-08-07]
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  17. ^ Sloane, N. J. A. Sequences (OEIS数列A005408)/M2400 and (OEIS数列A091007) in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
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  7. Castellanos, D. "The Ubiquitous Pi. Part II." Math. Mag. 61, 148-163, 1988b.
  8. Lehmer, D. H. "A Cotangent Analogue of Continued Fractions." Duke Math. J. 4, 323-340, 1938a.
  9. Valentine, Willard L. "A study of learning curves: III. The relationship between a growth curve and the arc cotangent function." The Journal of General Psychology 5.2 (1931): 251-255.
  10. Lehmer, D. H. "On Arccotangent Relations for pi." Amer. Math. Monthly 45, 657-664, 1938b.
  11. Spanier, J. and Oldham, K. B. "Inverse Trigonometric Functions." Ch. 35 in An Atlas of Functions页面存档备份,存于互联网档案馆). Washington, DC: Hemisphere, pp. 331-341, 1987.
  12. Bennett, A. A. "The four term Diophantine arccotangent relation." Annals of Mathematics (1925): 21-24.

外部链接