外尔群

在数学里，尤其是在李群的理论中，一根系的外尔群是指经由正交于根之超平面的镜面而产生之根系的等距同构群之子群。例如，根系A₂包含中心为原点之正六边形的角。根系的对称之整个群因此是有12阶的二面体群。外尔群产生于将六边形平分成两半的线之镜射；其为6阶的二面体群。

半单李群、半单李代数和半单线性代数群等之外尔群为群或代数之根系的外尔群。

除去由Φ的根所定义之超平面会将欧几里得空间切成有限个开领域，此领域称为外尔腔。这些领域可以被外尔群的群作用置换，且此一群作用为简单传递的。特别地是，外尔腔的数量是和外尔群的阶相同的。任一非零向量都可以以正交于v之超平面v^∧将欧几里得空间分成两个半空间－v⁺和v⁻。若v在某一外尔腔里，则没有根会在v^∧，所以每一个根都会在v⁺或v⁻里，且若其一根α在一边，则其另外一根−α会在另外一边。因此，Φ⁺ := Φ∩v⁺包含著Φ正好一半的根。当然Φ⁺和v有关，但只要v待在同一个外尔腔里，Φ⁺就不会改变。根据上述选择的根系之基为在Φ⁺内的简单根，即其不能被写成于Φ⁺内另外两个根之和的根。因此，外尔腔、Φ⁺和其基决定了另一个，且外尔群在每一状况下都为简单传递。下面的图示描绘了根系A₂的六个外尔腔，一选定的v及其超平面v^∧(以虚线表示)及正根α、β和γ。此例中的基为{α,γ}。

外尔群为考克斯特群的一特例。这表示其有一特殊种类的展现，其中每一产生子x_i均为二阶，且有异于x_i²的关系(x_ix_j)^m_ij。产生子是由简单根所给出的镜射，且m_ij依据根i和j之间的角度为90度、120度、135度或150度等不同(即根据其在邓肯图内为不相连、以单边相连、以双边相连、以三边相连)而分别为2、3、4及6。一外尔群元素的长度为可以以最少字展现其以标准产生子表示之元素的长度。

若G为一在代数闭体上的半单线代数群，且T为一极大环面，则T的正规化子N包含著T，为一有限指数之子群，且G的外尔群W会同构于N/T。若B为G的波莱尔子群且将T选定放在B内，即可得到布吕阿分解

$G=\bigcup _{w\in W}BwB$

其将旗流形G/B的分解映射至舒伯特细胞内。(详见格拉斯曼空间)

定义与样例

令$\Phi$为欧式空间$V$中的根系。对每个根$\alpha \in \Phi$，令$s_{\alpha }$表示关于垂直于$\alpha$的超平面的反射，它可以被显式地写成

$s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(\alpha ,v)}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha$，其中$(\cdot ,\cdot )$为$V$上的内积。$\Phi$的外尔群$W$是正交群$O(V)$由所有$s_{\alpha }$生成的子群。由根系的定义，每个$s_{\alpha }$保持了$\Phi$，因此$W$为有限群。