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尺度分析 (数学科学)

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尺度分析(Scale analysis),或称量级分析(order-of-magnitude analysis),是一个应用于数学科学的工具,用于简化含有多项式的公式。首先确定方程中的某一项的量级。然后一些小到可以忽略不计的项可能会被忽略。

例:综观尺度气象学垂直动量

考虑大气中纳维–斯托克斯的方程式中的垂直坐标方向上的 动量方程式

其中R地球半径,Ω是地球旋转频率g重力加速度,φ是纬度,ρ是空气密度以及ν是空气的 运动粘性系数(我们可以忽视湍流在大气中的影响)。

在综观尺度中,我们可以预期U = 101 m.s-1的水平速度和W = 10-2 m.s-1的垂直速度。 水平刻度L = 106米,垂直刻度H = 104米。 典型的时标是T = L / U = 105秒。 对流层的压差为ΔP= 104Pa,空气密度ρ= 100 kg·m-3。 其他物理属性约为:

R = 6.378 × 106 m;
Ω = 7.292 × 10−5 rad·s−1;
ν = 1.46 × 10−5 m2·s−1;
g = 9.81 m·s−2.

等式(1)中不同项的估计可以使用它们的尺度来进行:

现在我们可以将这些尺度及其值引入等式(1):


我们可以看到所有项次(除了右侧的第一个和第二个)都可以忽略不计。因此,我们可以将垂直动量方程式简化为流体静力平衡方程式:

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