心脏线
一个圆滚动产生的心脏线
使用圆和切线生成一个心脏线
心脏线,又称心形线,是有一个尖点的外摆线。也就是说,一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心脏线。
曼德博集合中间的图形是心脏线。
方程
在笛卡儿坐标系中,心脏线的参数方程为:
![{\displaystyle x(t)=2r\cos t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\cos t-{1 \over 2}\left(1+\cos 2t\right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1342b6098beba3e34d60c6e675547d25b058ad3e)
![{\displaystyle y(t)=2r\sin t\left(1-\cos t\right)=2r\left(\sin t-{1 \over 2}\sin 2t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f167b41dd2dccd88e5acb3a8a13420adb91f73)
其中r是圆的半径。曲线的尖点位于(r,0)。
在极坐标系中的方程为:
![{\displaystyle \rho (\theta )=2r(1-\cos \theta ).\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5314cd706f1cee99311247ca8d6fd6cf73afde10)
图像
这是四个朝着不同方向的心脏线。
面积
方程为
![{\displaystyle \rho (\theta )=a(1-\cos \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513545f1bb71c25de3e3f0815abf38aa6e6db8ef)
的心脏线的面积为:
,证明如下:
- 首先,因为函数图像关于
轴对称,所以只要求出当
时的面积再乘以2即可。
- 然后,易知当
的时候
,因此
![{\displaystyle A=2\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}(a(1-\cos \theta ))^{2}d\theta =a^{2}(\theta -2\sin \theta +{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}})\mid _{0}^{\pi }={\frac {3a^{2}\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ac4cc2634d71519dd09da1ac716b456dd01b72)
参见
参考文献