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极限点

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极限点(英语:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[注 1]随意逼近的点。[注 2]

这个概念有益的推广了极限的概念,并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[注 3]

定义

定义 — 
拓扑空间的子集;若对 的某点,所有包含 开集也有 内的非 点,即:

则称 极限点limit point)。由 的所有极限点所组成的集合称为 导集derived set),通常记为,换句话说:

以上的定义来自于“总是可以找到一组 内的点去逼近 ”的粗略想法,但一般的拓扑空间的不一定有像距离这样的工具来比较“开集的大小”,若想以极限点严谨地描述“可沿著 去逼近点”的话,还需要对做额外的假设。

特殊类型的极限点

定义 — 
拓扑空间的子集:

若包含的所有开集都包含可数 的点,则称ω会聚点ω‐accumulation point)。

若包含 的所有开集都包含不可数的点,则称缩合点condensation point)。

度量空间的聚集点

度量空间 自然的带有由度量生成的拓扑 更仔细地说,是由以开球为元素的拓扑基所生成的拓扑,也就是里的开集都是某群开球的联集。这样对开球定义极限点的话,就会等价于对定义(因为属于某个开球等价于属于某开集),换句话说,对度量空间可以作如下定义:

定义 — 
度量空间 ,且 ;若 ,且对所有 ,存在 使得  ,也就是

这样称  是   的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)

直观上可理解为“可以用 里的点(以度量  )无限制地逼近”。应用上, 定义域的聚集点也是函数极限能在 上有定义的前提条件。

度量空间中,ω会聚点与普通的极限点定义等价

性质

  • 关于极限点的性质:的极限点,当且仅当它属于 \ {}的闭包
    • 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x的极限点,当且仅当所有的邻域都包含一个非的点属于S,当且仅当所有的邻域含有一个点属于\ {x},当且仅当属于的闭包。
  • 的闭包具有下列性质:的闭包等于和其导集的并集
    • 证明:(从左到右)设属于的闭包。若属于S,命题成立。若,则所有的邻域都含有一个非的点属于;也就是说,x的极限点,。(从右到左)设属于S,则明显地所有的邻域和相交,所以属于的闭包。若属于L(S),则所有的邻域都含有一个非的点属于S,所以也属于的闭包。得证。
  • 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
    • 证明1S是闭集,当且仅当等于其闭包,当且仅当=∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S
    • 证明2:设是闭集,的极限点。则必须属于S,否则的补集为的开邻域,和不相交。相反,设包含所有它的极限点,需要证明的补集是开集。设属于的补集。根据假设,x不是极限点,则存在的开邻域U不相交,则U的补集中,则的补集是开集。
  • 孤点不是任何集合的极限点。
    • 证明:若是孤点,则{x}是只含有的邻域。
  • 空间离散空间,当且仅当的子集都没有极限点。
    • 证明:若是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点yx,则的极限点。
  • 若空间密着拓扑,且的多于一个元素的子集,则的所有元素都是的极限点。若单元素集合,则所有\的点仍然是的极限点。
    • 说明:只要\ {x}非空,它的闭包就是X;只有当是空集或的唯一元素时,它的闭包才是空集。
  • T1空间,则 的极限点等价于 的每个邻域皆包含无限多个 的点。[注 4]

注释

  1. ^ 不包含极限点本身
  2. ^ 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
  3. ^ 一个有关的概念是序列的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。
  4. ^ 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点,使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质,这样通常会比较轻松。

引用