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极点分离

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极点分离(Pole splitting)是在放大器电路中进行频率补偿时,可能会出现的现象。若在放大器的输入侧和输出侧加上电容器,希望将最低频率的极点(多半在输入侧)时,极点分离会使次低的极点频率提高。此极点的移动会提升放大器的稳定性,也会改善其阶跃响应,但其速度会变慢[1][2][3][4]

举例

图1:在输入和输出之间有补偿电容器CC的运算放大器。运算放大器有输入阻抗Ri和输出阻抗Ro
图2:用密勒定理转换后的电路,将辅偿电容转换为输入侧的密勒电容,以及输出侧随频率变化的电流源

这些例子可以看出在图1的运算放大器中加入电容器CC,有两个目的:使得放大器最低频的极点频率再降低,并且将次低频率的极点频率提高[5]。图1的放大器其低频的极点是因为加入的输入阻抗Ri以及电容Ci,其时间常数是Ci ( RA || Ri )。因为密勒定理的缘故,此极点的频率会降低。此放大器有一个频率较高的极点,是因为负载电阻RL和电容CL,其时间常数是CL ( Ro || RL )。此极点的频率会因为密勒放大的补偿电容器CC影响了输出电压分压器的频率相依关系,因此频率会提高。

第一个目的,也就是将最低频率极点的频率调低,可以用类似密勒效应条目中的作法。依照密勒定理中所述的程序,图1的电路可以转换为图2的电路,两者在电气上是等效的。将基尔霍夫电路定律应用在图2的输入侧,可以找到给理想运算放大器的电压是信号电压的函数

滚降英语roll-off从频率f1开始

其中的是最低极点的时间常数,比原始的时间常数要低,原始的时间常数对应CC = 0 F时,是

若考虑第二个目的,让较高频率的极点频率再往上增加,需要看电路的输出侧,输出侧为整体增益增加了第二个因子,也有额外的频率相依性,电压是由理想放大器的增益决定的

利用这个关系,再在输出侧应用基尔霍夫电路定律,可以得到负载电压相对于运算放大器输入电压的函数:

这个运算式可以结合输入侧电路的增益,得到整体增益是

增益公式中是一个单纯的二阶响应,有二个时间常数(其中也有一个零点,假设放大器增益Av很大的话,此零点只有在很高频率才需要考虑,目前的讨论可以假设分子是1)。不过,虽然放大器看似二极的行为,但这二个时间常数比上述的要复杂,因为密勒电容中有藏著一个频率相依性,在较高频时就需要考虑。假设输出R-C乘积CL ( Ro || RL ),对应一个比低频极点频率要高很多的频率。那么密勒电容的值就不能用密勒近似的公式,需要用精确值。根据密勒定理,密勒电容为

(针对一个正的密勒电容,Av为负值)。将此结果代入增益公式中,增益可以改写如下:

其中Dω是ω的二次式:

上述的二次式可以改写如下:

其中 and Dω公式中结合了电阻和电容的值。[6]。可以对应放大器二个极点的时间常数。其中一个是比较大,假设是较大的时间常数,对应最低的极点,另外再假设 >> (若要有良好的阶跃响应,会需要 >> ,可以看以下的如何选择CC章节)

在放大器最低极点还低的频段,ω的线性项比二次项影响更大,因此Dω的低频特性为:

其中的CM会用密勒效应重新定义为

就是之前低频计算的密勒电容。以此基础下,假设 >> ,可以确定。因为CM很大,时间常数远大于其原始值Ci ( RA || Ri ).[7]

在高频时平方项影响较小,假设上述有关 的结果有效,对应较高频率的第二个时间常数,可以由Dω的二次项求得,为

将平方项系数的公式代到,再加上 的估计值,可以得到第二个极点的估计位置:

因为CM很大,会比原来的值CL ( Ro || RL )要小,也就是说,较高频率的极点其频率会因为CC而提高.[8]

简单来说,导入CC降低低频极点,提高高频极点。因此符合“极点分离”字面上的意思。

如何选择CC

图3:二极点放大器设计的理想波德图。第一个极点在f1,增益以20 dB / decade的斜率下降,第二点极点在f2',增益以40 dB / decade的斜率下降

在一般的应用中,传统放大器设计(称为“主极点”或“单极点补偿”)会要求放大器增益在转角频率处以20 dB/decade的斜率下降,降到0 dB增益,甚至更低[9] [10]。在此设计下,放大器会稳定,而且有近乎最佳的阶跃响应,类似增益为1的电压缓冲器。而二极点补偿是更冒险的作法[11][12]

在设计中选择f2的方式如图3所示。在最低极点f1处,波德增益图开始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要维持20 dB/decade的下降斜率,一直到0dB为止,并且取20 log10 Av增益(以dB)表示的下降量,除以希望的频率变化(在log频率尺度上[13]),( log10 f2  − log10 f1 ) = log10 ( f2 / f1 ),就是这段的斜率

斜率

f2 = Av f1,上述的值会是是20 dB/decade。若f2没有这么大,波德图的第二个转折会发生在增益降到0 dB之前,这会让稳定性变差,而且阶跃响应也会不好。

图3也说明了正确的增益和频率的关系,第二个极点至少要是第一个极点的Av倍。此增益会因为放大器输入和输出的电压分配定则而减少一点,因此要修正输入和输出电压分配下的Av,使用良好阶跃响应下的“极点—比例条件”(pole-ratio condition)可得:

图4:用Microsoft Excel绘出低频率CM的密勒电容CM(上方)以及补偿电容CC(下方) 和增益的函数关系,电容的单位是pF

利用上述时间常数的近似,可以得到

这是一个可以求得CC近似值的二次式。图4是此式的图形。在低增益时放大器在没有补偿时就满足极点-增益条件(在图中低增益时的补偿电容器CC很小),但增益增加时,因为需要的极点增益快速上升,补偿电容器就越来越重要(在图4时,补偿电容器随频率迅速的增加)。若增益更大时,因为CC的密勒放大作用,会随著增益而增加(可以参考密勒方程式),因此必要的CC会随著增益增加而减少。

若考虑设计的不确定性,保留较多的安全预度,Av会设计成等式右边Av值的两倍或三倍[14]。可以参考Sansen[4]或Huijsing[10]的参考资料

回转率

上述都是小信号分析。不过若用在大信号时,因为补偿电容器需要充电和放电,会对放大器的回转率英语slew rate有不良的影响。而且因为需要为CC充电,会限制斜坡函数输入下的响应。

相关条目

参考资料和脚注

  1. ^ 上升时间会在低过冲以及低振铃的条件下,尽可能的调快
  2. ^ C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors). Trade-offs in analog circuit design: the designer's companion. New York/Berlin/Dordrecht: Springer. 2007: 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2. 
  3. ^ Marc T. Thompson. Intuitive analog circuit design: a problem-solving approach using design case studies. Amsterdam: Elsevier Newnes. 2006: 200. ISBN 0-7506-7786-4. 
  4. ^ 4.0 4.1 Willy M. C. Sansen. Analog design essentials. New York; Berlin: Springer. 2006: §097, p. 266 et seq [2021-07-08]. ISBN 0-387-25746-2. (原始内容存档于2009-05-30). 
  5. ^ 虽然这个例子看起来很特别,相关的数学分析常用在电路设计中
  6. ^ 时间常数的和是jω线性项的系数,时间常数的积是(jω)2平方项的系数
  7. ^ 的公式和一开始f1所得的( CM+Ci ) ( RA || Ri有些不同,但假设负载电容没有大到会控制低频响应,其差异不大
  8. ^ 顺带提一下,高频极点的频率越高,在实际放大器中其他极点影响的可能性就越大
  9. ^ A.S. Sedra and K.C. Smith. Microelectronic circuits Fifth. New York: Oxford University Press. 2004: 849 and Example 8.6, p. 853 [2021-08-20]. ISBN 0-19-514251-9. (原始内容存档于2009-02-04). 
  10. ^ 10.0 10.1 Huijsing, Johan H. Operational amplifiers: theory and design. Boston, MA: Kluwer Academic. 2001: §6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0. 
  11. ^ Feucht, Dennis: Two-pole compensation页面存档备份,存于互联网档案馆
  12. ^ Self, Douglas. Audio power amplifier design handbook. Oxford: Newnes. 2006: 191–193. ISBN 0-7506-8072-5. 
  13. ^ 也就是说,frequency以是十的幂次为单位绘图,例如1, 10, 102等etc
  14. ^ 二极点放大器设计中,系数2会得到最大平坦(maximally flat)或是巴特沃斯滤波器设计。不过实际的放大器不止二个极点,有必要让系数大于2