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表面张力波

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水面涟漪
挪威厄克斯内斯Lifjord 的涟漪
水滴产生的涟漪

表面张力波(英语:Capillary wave)是延著液体相边界英语phase boundary行进的,其动力学及相速度是由表面张力的效应所决定,在水面上的表面张力波常称为涟漪

表面张力波是自然界常见的现象,其波长多半在数公分以内,而相速度约0.2-0.3公尺/秒。

若液体表面的波是受到表面张力、重力及液体惯性的影响,其波长会比较长,称为重力-表面张力波(gravity–capillary waves)。一般的重力波波长会更长。

涟漪可能是在开放水体中由微风所产生,在开放海域中,由风产生的小涟漪可能会造成大的波涛

色散关系

色散关系说明在波当中波长频率之间的关系。色散关系会出现在只受表面张力影响的纯表面张力波中,也会出现在由重力和表面张力影响的重力-表面张力波中。

一般的表面张力波

在表面张力波中的色散关系是

其中ω角频率σ表面张力ρ是较重流体的密度ρ'是较轻流体的密度,k波数。其波长 若在流体和真空中的边界,其色散关系简化为是

重力-表面张力波

在深水表面的重力-表面张力波(上方的密度为0,ρ′ = 0)。相速度及群速度除以后,会是相对波长倒数的函数
 · 蓝线(A):相速度,红线(B):群速度
 · 实线:重力-表面张力波色散关系。
 · 点线:深水重力波的色散关系
 · 虚点线:实际深水重力波的色散关系

一般而言,水也会受到重力的影响,因此称为重力-表面张力波。若是无限深度的流体,其色散关系如下[1][2]

其中g标准重力ρρ'分别是二种流体的密度ρ > ρ‘)。第一项的因子是阿特伍德数

重力波的范围

若波长较大(波数k = 2π/λ较小),主要会受第一项,重力波的影响。

若到极限时,波的群速度会是相速度的一半。若跟随著某一个波群中的某一个波峰前进,会看到波在后面出现,成长,最后会在波群的前面消失。

表面张力波范围

若波长较小(波数较大,例如在水-空气介面中,波数到达2 mm),是表面张力波,情形恰好相反。跟随著某一个波群中的某一个波峰前进,会看到波在前面出现,成长,最后会在波群的后面消失。在极限时,群速度会是相速度的1.5倍。

相速度的最小值

在上述两种极端条件之间,存在一个点,表面张力波产生的色散会和重力产生的色散相抵消。在该波长下,群速会等于相速,没有色散。在该波长下,重力-表面张力波的相速有极小值。若波长远大于临界波长λm的波主要会受到表面张力影响,波长远大于该值的波主要会受到重力影响。波长和最小相速度cm的关系如下[1]

针对空气的界面,λm约为1.7 cm(0.67英寸),cm为0.23 m/s(0.75 ft/s).[1]

若小石头或是水滴落入液面,涟漪会以同心圆往外扩散,最后水面会静止。涟漪的同心圆会出现焦散英语caustic (optics),对应最小相速[3]

原理

理查德·费曼曾提过:“[水波]是每一个人都可以看到的现象,也在基础教育中用来做为波的例子[......],但也是最坏的例子,[......]波可能会出现的复杂问题,在水波中都可可能出现。”[4]。在重力-表面张力波的色散关系中,也会有类似的情形[5]

一般会假设重力-表面张力波的能量来源有三个:重力、表面张力流体动力学。前两个是势能。在有关重力的部份,一般分析会假设流体的密度是定值(不可压缩性),也会假设重力是定值(水波的高低还不足以造成重力显著变化的程度)。有关表面张力,会假设表面的高度变化很小,针对一般水波,上述二个假设都可以成立。

能量来源的第三个是流体的动能,这部份最复杂,需要用流体动力学的技巧。此处会再假设不可压缩性(若波的速度远小于介质中声速时成立),流场本身是保守向量场,因此流位流

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脚注

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Lamb (1994), §267, page 458–460.
  2. ^ Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45.
    Phillips (1977), Section 3.2, p. 37.
  3. ^ Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. 2011. Section 3.1 and Exercise 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4. 
  4. ^ 理查德·费曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '费曼物理学讲义. Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.
  5. ^ 在Safran (1994)中有更细节的叙述 for a more detailed description.

参考资料

外部链接