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连续性方程式

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在物理学里,连续性方程式(英语:continuity equation)是描述守恒量传输行为的偏微分方程式。在适当条件下,质量能量动量电荷等都是守恒量,因此很多传输行为都可以用连续性方程式来描述。

连续性方程式是局域性的守恒定律方程式。与全域性的守恒定律相比,这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程式的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变,等于从边界进入或离去的数量;守恒量不能够增加或减少,只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程式都既可以用积分形式表达(使用通量积分),描述任意有限区域内的守恒量;也可以用微分形式表达(使用散度算符),描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

概论

微分形式

一般的连续性方程式的微分形式为

其中, 是某物理量 的密度(每单位体积的物理量), 的流量密度(每单位面积每单位时间的物理量)的向量函数(vector function), 在每单位体积每单位时间的生成量。

假若 则称 为“源点”;假若 则称 为“汇点”。假设 是没有产生或湮灭的守恒量,(例如,电荷),则 ,连续性方程式变为

从简单的“能量连续性方程式”到复杂的纳维-斯托克斯方程式,这方程式可以用来表示任意连续性方程式。该方程式也是平流方程式advection equation)的推广。

另一些物理学中的方程式也具有类似连续性方程式的数学形式,例如电场高斯定律引力场高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程式,因为 并不代表真实物理量的流动。

积分形式

在连续性方程式的积分形式里, 是包住体积 的任意闭曲面。如同图内左边的曲面(以蓝色显示), 没有边界;而图内右边的曲面都有边界(以红色显示)。

根据散度定理,连续性方程式可以写为等价的积分形式:

其中, 是包住体积 的任意固定(不随时间改变)闭曲面, 是在体积 内的 总量, 是在积分体积 内源点与汇点的总生成量每单位时间, 是微小面向量积分元素。

举一简例,假设 台北101大楼 是在大楼内某时间的总人数, 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程式表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的 ),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。

电磁理论

在电磁理论里,连续性方程式可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从马克士威方程组推导出的结果。“电荷连续性方程式”表明,电荷密度 的变率与电流密度 的散度,两者的代数和等于零:

马克士威-安培方程式满足局域电荷守恒的连续性方程式

马克士威-安培方程式

其中,磁场电场磁常数电常数

取散度于方程式的两边,由于旋度散度必是零,

高斯定律的方程式为

将这方程式代入,可以得到

电流是电荷的流量。连续性方程式可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程式就是电荷守恒。

四维电流

四维电流密度定义为

其中, 标记时空坐标,光速

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达,即连续性方程式

其中,

流体力学

流体力学里,连续性方程式表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。[1][2]。此时连续性方程式与电路学克希荷夫电流定律类似。“质量连续性方程式”的微分形式为[1]

其中, 是流体质量密度, 是流速向量场,两者相乘后为质量通量

假设流体是不可压缩流,则密度 是常数,质量连续性方程式简化为体积连续性方程式:[1]

这意味著,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。

在另一方面,纳维-斯托克斯方程式是一个向量连续性方程式,描述动量守恒

能量

根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这意味着“能量连续性方程式”。这是在热力学定律Laws of thermodynamics)外,能量守恒的另一种数学表述,即,

其中, 是能量密度(单位体积的能量), 是能量通量向量(数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量,方向为截面的外法线方向)。

根据傅立叶定律Fourier's law),对于均匀传导介质,

其中,热导率温度函数。

能量连续性方程式又可写为热传导方程

量子力学

量子力学里,从机率守恒可以得到“机率连续性方程式”假设一个量子系统的波函数为 ,机率流 的定义为

其中,约化普朗克常数 是质量,共轭复数 是取括弧内项目的虚部

连续方程式与机率守恒定律

机率流满足量子力学的连续方程式

其中, 是机率密度。

应用高斯公式,可以等价地以积分方程式表示,

(1)

其中, 是任意三维区域, 的边界曲面。

方程式 (1) 左边第一个体积积分项(不包括对于时间的偏微分)是测量粒子位置时粒子在 内的机率。第二个曲面积分是机率流出 的通量。总之,方程式 (1) 表明,粒子在三维区域 内的机率对于时间的微分,与其流出三维区域的机率 的通量,两者之和等于零。

连续方程式推导

测得粒子在三维区域 内的机率

机率对于时间的导数是

(2)

注意到 含时薛丁格方程式

其中,位势

将含时薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

应用一则向量恒等式,可以得到

这方程式右手边第一项与第三项互相抵销,将抵销后的方程式代入,

将机率密度方程式与机率流定义式代入,

该等式对于任意三维区域 都成立,所以被积项目在任何位置都必须等于零:

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London