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里昂群

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群论


里昂群,或作Ly,是群论上的一个有限单群,为26个散在群之一。理查德‧里昂(Richard Lyons)在1970年时提出此群的存在性。

里昂群的

    28 · 37 · 56 · 7 · 11 · 31 · 37 · 67
= 51765179004000000
≈ 5 · 10 16 .

在单群中,里昂群的阶是唯一能使其一些对合中心化子与11阶交错群 A11循环群 C2进行的非显然中心扩张(central extension)同构者。

这个群的存在性和在同构方面的唯一性,已借由一个混合轮换群理论和C. C. Sims.的一个“聪明”的机械运算法所证明,故此群又被称作里昂─西姆斯群(Lyons-Sims group),或作LyS

麦克劳林群被发现时,人们注意到它其中一个对合的中心化子是交错群A8的完美双覆盖群。这使得人们开始考虑其他交错群An的双覆盖群是否也可能是某些单群其对合的中心化子。n≤7的状况由布劳尔-铃木定理(Brauer-Suzuki theorem)否决,n=8的状况引致麦克劳林群,n=9的情况为兹沃尼米尔‧扬科(Zvonimir Janko)所否证,里昂自己否证了n=10的情况,之后他在n=11的情况下,发现了里昂群,至于n≥12的情况,则为约翰‧汤普森(John Griggs Thompson)与罗纳德‧索罗蒙(Ronald Solomon)所否证。

在有五个元素的域上,里昂群可以111维模表示法(Modular representation)更清楚地进行描述,或以生成元以及各元素关系的方法表示,可见Gebhardt (2000)以知其例。

里昂群是六个被称为贱民群(pariahs)的散在群之一,所谓的贱民群就是非怪兽群子群的散在群(因为怪兽群的阶不能为37或67所除尽)。

参照

  • R. Lyons, Evidence for a new finite simple group, J. Algebra 20 (1972) 540-569 and 34 (1975) 188-189.
  • Volker Gebhardt, Two short presentations for Lyons' sporadic simple group, Experimental Mathematics, 9 (2000) no. 3, 333-338.

外部链接