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电荷密度

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电磁学里,电荷密度是一种度量,用以描述空间中连续电荷的分布状况。依据讨论电磁模型的维度而定,电荷密度可以是线电荷密度面电荷密度体电荷密度

假设电荷分布于一条曲线或一根直棒子,则其线电荷密度是每单位长度的电荷密度,单位为库仑公尺 (coulomb/meter) 。假设电荷分布于一个平面或一个物体的表面,则其面电荷密度是每单位面积的电荷密度,单位为库仑/公尺2。假设电荷分布于一个三维空间的某区域或物体内部,则其体电荷密度是每单位体积的电荷密度,单位为库仑/公尺3

由于在大自然里,有两种电荷,正电荷负电荷,所以,电荷密度可能会是负值。电荷密度也可能会跟位置有关。特别注意,不要将电荷密度与电荷载子密度 (charge carrier density) 搞混了。

电荷密度与电荷载子的体积有关。例如,由于阳离子的半径比较小,它的体电荷密度大于阳离子的体电荷密度。

古典电荷密度

假设,一个体积为 载电体,其电荷密度 是均匀的,跟位置无关,那么,总电荷量

假设,在某一区域内有 个离散的点电荷,像电子。那么,电荷密度可以用狄拉克δ函数来表达为

其中, 是检验位置, 是位置为 的第 个点电荷的电量

量子电荷密度

氢原子的电子机率密度绘图。横排显示不同的角量子数 (l) ,竖排显示不同的能级 (n) 。这也是氢原子的负电荷密度图。氢原子的质子的中心有一个正电性的质子

量子力学里,类氢原子的中心有一个正电性的原子核,环绕著原子核四周的一个电子的轨域,其电荷密度可以用波函数 表达为[1]

其中, 是电子的电荷量。

注意到 是找到电子的机率。经过归一化,在全部空间找到电子的机率是

例如,氢原子的波函数

其中, 是径向函数,球谐函数主量子数角量子数磁量子数

相对论性电荷密度

相对论的角度来论述,导线的长度与观察者的移动速度有关,所以电荷密度是一种相对论性观念。安东尼·法兰碁Anthony French)在他的著作中表明[2],移动中的电荷密度会产生磁场力,会吸引或排斥其它载流导线。。使用闵可夫斯基图,法兰碁阐明,一条中性的载流导线,对于处于移动参考系的观察者而言,为什么会貌似载有净电荷密度。通过时空坐标,研究电磁现象的领域称为相对论性电磁学relativistic electromagnetism)。

电荷守恒的连续方程式

电荷密度与电流密度之间的关系式为:

其中, 是位置, 是时间, 是电流密度。

电磁理论里,从马克士威方程组,可以推导出电荷守恒的连续方程式。根据加入位移电流项目后的安培定律[3]

其中, 是磁场, 是电场,磁常数电常数

散度于方程式的两边:

由于旋度的散度等于零,再根据高斯定律,可以得到想要的关系式

换另外一种比较直觉的推导方法。流入某体积 的净电流为

其中, 是电流, 是包围体积 的闭曲面, 是微小面向量元素,垂直于 从体积内朝外指出。

应用散度定理,将这方程式写为

总电荷量 与体积 内的电荷密度 的关系为

电荷守恒要求,流入体积 的净电流,等于体积 内总电荷量 的变率:

所以,

对于任意体积 ,上述方程式都成立。所以,可以将被积式提取出来:[4]

电势和电场

在一个体积区域 内,源位置 的电荷密度为 的电荷分布,所产生在场位置 电势[3]

其中, 是微小体积元素。

电场 是电势的负梯度

应用向量关系式

取散度于电场,

可以得到高斯定律的微分形式

帕松方程式

参阅

参考文献

  1. ^ Cao, Tian Yu, Conceptual developments of 20th century field theories reprint, illustrated, Cambridge University Press: pp. 146–147, 1998, ISBN 9780521634205 
  2. ^ A. French (1968) Special Relativity, chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton.
  3. ^ 3.0 3.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 29–31, 237–239, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 
  4. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 213, 1998, ISBN 0-13-805326-X