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霍普夫代数

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数学中,霍普夫代数(英文: Hopf algebra)是一类双代数,亦即具有相容的结合代数馀代数结构的向量空间,配上一个对极映射,后者推广了上的逆元运算 。霍普夫代数以数学家海因茨·霍普夫命名,此类结构广见于代数拓扑群概形论、量子群等数学领域。

定义

所谓霍普夫代数,是指一个 上的双代数 ,配上一个线性映射 (称为对极映射),使得下述图表交换:

antipode commutative diagram

利用 Sweedler 记号,此定义亦可表为

对极映射可理解为 卷积之逆,故其若存在必唯一。当 ,则称 对合的;交换或馀交换霍普夫代数必对合。

根据定义,有限维霍普夫代数的对偶空间也带有自然的霍普夫代数结构。

例子

群代数. 设 为群,可赋予群代数 下述霍普夫代数结构:

有限群上的函数. 设 为有限群,置 为所有 的函数,并以逐点的加法与乘法使之成为结合代数。此时有自然的同构 。定义:

仿射代数概形的座标环:处理方式同上。

泛包络代数. 假设 是域 上的李代数,置 为其泛包络代数,定义:

后两条规则与交换子相容,因此可唯一地延拓至整个 上。

李群的上同调

李群上同调代数构成一个霍普夫代数,其代数结构由上同调的上积给出,馀代数结构则来自群乘法 ,由此导出

对极映射来自 。这是霍普夫代数的历史起源,事实上,霍普夫藉著研究这种结构,得以证明李群上同调的结构定理:

定理(霍普夫,1941年)[1].

上的有限维分次交换、馀交换之霍普夫代数,则 (视为 -代数)同构于由奇数次元素生成的自由外代数

量子群与非交换几何

上述所有例子若非交换便是馀交换的。另一方面,泛包络代数的某些“变形”或“量子化”可给出非交换亦非馀交换的例子;这类霍普夫代数常被称为量子群,尽管严格而言它们并不是群。这类代数在非交换几何中相当重要:一个仿射代数群可以由其座标环构成的霍普夫代数刻划,而这些霍普夫代数的变形则可设想为某类“量子化”了的代数群(实则非群)。

文献

注记

  1. ^ H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784