多项式馀式定理(英语:Polynomial remainder theorem)是指一个多项式
除以一线性多项式
的馀式是
。
定义
我们可以一般化多项式馀式定理。如果
的商式是
、馀式是
,那么
。其中
的次数会小于
的次数。例如,
的馀式是
。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是馀式。
至于除式为2次以上时,可将n次除式的
根
列出联立方程:
![{\displaystyle P(a)=R(a),P(b)=R(b),P(c)=R(c),\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e088cf21fdf1ceb2d3c8466d5e3a8604bda62a2)
其中
是被除式,
是馀式。
此方法只可用在除式不是任一多项式的
次方。
推导
多项式馀式定理可由多项式除法的定义导出.根据多项式除法的定义,设被除式为
,除式为
,商式为
,余式为
,则有:
![{\displaystyle f(x)=g(x)\cdot q(x)+r(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f8e10a7c9c9a4a420c89b02c4c3f8c600dc237)
如果
是一次式
,则
的次数小于一,因此,
只能为常数,这时,余式也叫余数,记为
,即有:
![{\displaystyle f(x)=(x-a)\cdot q(x)+r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bffd350d7b090e4ab01e498fe20dbbd4207c3d)
根据上式,当
时,有:
![{\displaystyle f(a)=(a-a)\cdot q(a)+r=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1cf7ff4e9fa7c6822a3adbff4a13d8ea3b13e5)
因此,我们得到了余式定理:多项式
除以
所得的余式等于
。
参见