- 本条目中,向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小则用
来表示。
卡尔·高斯
在电磁学里,高斯磁定律阐明,磁场(B场)的散度等于零。因此,磁场是一个螺线向量场。从这事实,可以推断磁单极子不存在。磁的基本实体是磁偶极子,而不是磁荷。当然,假若将来科学家发现有磁单极子存在,那么,这定律就必须做适当的修改,如稍后论述。高斯磁定律是因德国物理学者卡尔·高斯而命名。
在物理学界,很多学者使用“高斯磁定律”来指称这定律,但并不是每一位学者都采用这名字。有些作者称它为“自由磁单极子缺失”[1],或明确地表示这定律没有取名字[2]。还有些作者称此定律为“横向性要求”[3],因为在真空中或线性介质中传播的电磁波必须是横波。
理论方程式形式
闭曲面与开放曲面示意图。左边是闭曲面例子,包括球面、环面和立方体面;穿过这些曲面的磁通量等于零。右边是开放曲面,包括圆盘面、正方形面和半球面;都具有边界(以红色显示),不完全围入三维体积。穿过这些曲面的磁通量不一定等于零。
高斯磁定律的方程式可以写为两种形式:微分形式和积分形式。根据散度定理,这两种形式为等价的。
高斯磁定律的微分形式为
;
其中,
是磁感应强度。
这是马克士威方程组中的一个方程式。
高斯磁定律的积分形式为
![{\displaystyle \oiint }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb0003d7ba1e93dc0e31c361a68df9b2d4ed2)
![\oiint](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/OiintLaTeX.svg/25px-OiintLaTeX.svg.png)
![{\displaystyle {\mathbb {S} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abc2be9fe56565ebe5c2e6e22bbe9c2fac5fc4b)
其中,
是一个闭曲面,
是微小面积分(请参阅曲面积分)。
这方程式的左手边项目,称为通过闭曲面的净磁通量。高斯磁定律阐明这净磁通量永远等于零。
磁向量势
根据亥姆霍兹分解(Helmholtz decomposition),因为磁场的散度等于零,必定存在有向量场
满足条件
。
这向量场
称为磁向量势。
请注意并不是只有一个向量场
满足这条件。实际上,有无限多个解答。应用一项向量恒等式,
,
给予任意函数
,那么,
也是一个解答。磁向量势的这种特性,称为规范自由。
磁场线
透过铁粉显示出的磁场线。将条状磁铁放在白纸下面,铺洒一堆铁粉在白纸上面,这些铁粉会依著磁场线的方向排列,形成一条条的曲线,在曲线的每一点显示出磁场线的方向。
磁场,就像任何向量场,可以用场线来描绘其轨迹。磁场线是一组曲线,其方向对应于磁场的方向,其面密度与磁场的大小成正比。因为磁场的散度等于零,磁场线没有初始点,也没有终结点。磁场线或者形成一个闭回圈,或者两个端点都延伸至无穷远。
磁单极子
假若,有科学家发现磁单极子存在于宇宙,则高斯磁定律不正确,必须修正。磁场的散度会与磁荷密度
成正比[1]:
。
其中,
是磁常数。
必欧-沙伐定律
从必欧-沙伐定律,可以推导出高斯磁定律。必欧-沙伐定律阐明,设定电流密度
,则磁场为
;
其中,
是源位置,
是场位置,
是积分的体积,
是微小体积元素。
应用一项向量恒等式,
,
将这恒等式带入必欧-沙伐方程式。由于梯度只作用于无单撇号的坐标,可以移到积分外,改为旋度:
。
应用一项向量恒等式,
。
所以,高斯磁定律成立:
。
参阅
参考文献