代數拓撲中,上積或杯積(cup product)是將兩個度為p和q的上循環聯接起來,形成度為p+q的複合循環的方法。這定義了上同調中的結合(與分散)分次交換積,將空間X的上同調轉變為分次環
,稱作上同調環。上積由詹姆斯·韋德爾·亞歷山大、愛德華·切赫與哈斯勒·惠特尼於1935–1938年間提出,1944年塞繆爾·艾倫伯格給出了一般定義。
定義
奇異上同調中,上積構造給出了拓撲空間X的分次上同調環
上的積。
構造始於上鏈之積:若
是p上鏈,且
是q上鏈,則
![{\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b247c3a25c0d6092523ff789a855d637635ea1)
其中σ是奇異
-單純形,
,
是S張成的單純形規範嵌入
-單純形,後者的頂點索引為
。
非正式地,
是σ的第p個正面(front face),
是σ的第q個背面(back face)。
上鏈
與
的上積的上邊緣(coboundary)為
![{\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bbf8b61ff6ae025b54794d8180cb55380409d9)
兩個上循環的上積仍是上循環,上邊緣與上循環(任意順序)的積仍是上邊緣。上積在上同調中引入了雙線性運算
![{\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31469a82812389e6a9a5f5e8fffd1c0f173aef0)
性質
上同調中的上積滿足以下特性
![{\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f39606b3502714842b4c7232f2289dee30033b)
因此相應的乘法是分次交換的。
上積的函子性體現在以下方面:若
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
是連續函數,
![{\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6141ef84d15561ae92d42ecf6f9475c2ea350146)
是上同調中的誘導同態,則
![{\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1881e9f81b4f359089c6788046e2a074f63e79c5)
對
中所有類α、β。也就是說,f *是(分次)環同態。
解釋
可將上積
視作由下面的組合誘導而來:
![{\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f55461b427371ea9442fe810cb927bcde892cc)
以
與
的鏈復形表示,其中第一個映射是克奈映射,第二個映射由對角
誘導。
這個構成傳給商,便給出了良定義的上同調映射,這就是上積。這種方法解釋了上同調上積的存在,但沒有解釋同調上積:
誘導了映射
,但還會誘導映射
,後者與我們定義積的方法相反。不過,這在定義下積時是有用的。
上積的這種表達體現了雙線性,即
;
例子
上積可用來區分流形和具有相同上同調群的空間之楔。空間
與環面T具有相同的上同調群,但具有不同的上積。在X的情況下,與
相關的上鏈的乘法是退化的;而在T中,第一個上同調群中的乘法可用於將環面分解為2胞圖,從而使積等於Z(更一般地說是M,此處是基模)。
其他定義
上積與微分形式
在德拉姆上同調中,微分形式的上積由楔積導出。即,兩個閉微分形式的楔積屬於兩個原德拉姆類的上積的德拉姆類。
上積與幾何相交
環繞數可用鏈的補上的非零上積定義。這兩個鏈循環在
變形中的補退化為環面和2球的楔和,其有度為1、不為零的上積。
對於定向流形,有幾何啟發式,即「上積與相交是對偶的」。[1][2]
令
為
維定向光滑流形。若兩個余維分別是i、j的子流形
橫截着交,那麼它們的交
又是余維是i + j的子流形。將這些流形的基本同調類的像置於包含(inclusion)之中,就可以得到同調上的雙線性積,與上積是龐加萊對偶的,即取龐加萊對
則有以下等式:
.[1]
同樣,環繞數也可用交來定義,將維數移動1,或者用鏈之補上的非零上積來定義。
梅西積
梅西積推廣了上積,允許定義「高階環繞數「,即米爾諾不變量。
上積是二元運算。可以定義三元甚至多元的高階運算,稱作梅西積,是上積的推廣。它是一種高階上同調運算,目前只定義了一部分(只定義了部分三元運算)。
另見
參考文獻