佩爾數
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佩爾數是一個自古以來就知道的整數數列,由遞推關係定義,與斐波那契數類似。佩爾數呈指數增長,增長速率與白銀比的冪成正比。它出現在2的算術平方根的近似值以及三角平方數的定義中,也出現在一些組合數學的問題中。
定義
佩爾數由以下的遞推關係定義:
也就是說,佩爾數的數列從0和1開始,以後每一個佩爾數都是前面的數的兩倍加上再前面的數。最初幾個佩爾數是:
佩爾數也可以用通項公式來定義:
對於較大的n,的項起主要作用,而的項則變得微乎其微。因此佩爾數大約與白銀比的冪成正比。
第三種定義是以下的矩陣公式:
從這些定義中,可以推出或證明許多恆等式;例如以下的恆等式,與斐波那契數的卡西尼恆等式類似:
這個恆等式是以上矩陣公式的直接結果(考慮矩陣的行列式)。
2的算術平方根的近似值
佩爾數出現在2的算術平方根的有理數近似值中。如果兩個大的整數x和y 是佩爾方程的解:
那麼它們的比就是的一個較精確的近似值。這種形式的近似值的數列是:
其中每一個分數的分母是佩爾數,分子則是這個數與前一個佩爾數的和。也就是說,佩爾方程的解具有的形式。是這些近似值中的第八個,在公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀的古希臘數學家也知道這個近似值的數列;他們把這個數列的分母和分子稱為「邊長和直徑數」,分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。
這些近似值可以從的連分數展開式推出:
取這個展開式的有限個項,便可以產生的一個近似值,例如:
素數和平方數
佩爾素數是既是佩爾數又是素數的數。最初幾個佩爾素數是:
與斐波那契素數相似,僅當n本身是素數時才有可能是素數。
唯一的既是佩爾數又是平方數、立方數或任意整數次方的數是0, 1, 以及169 = 132。
然而,佩爾數與三角平方數有密切的關係。它們出現在以下佩爾數的恆等式中:
等式的左面是平方數,等式的右面是三角形數,因此是三角平方數。
Santana和Diaz-Barrero在2006年證明了佩爾數與平方數之間的另外一個恆等式,並證明了從到的所有佩爾數的和總是平方數:
例如,從到的和是,是的平方。就是這個和的平方根:
勾股數
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如果一個直角三角形的邊長為a、b和c(必須滿足勾股定理a2+b2=c2),那麼(a,b,c)稱為勾股數。Martin在1875年描述,佩爾數可以用來產生勾股數,其中a和b相差一個單位。這個勾股數具有以下形式:
用這種方法產生的勾股數的序列是:
- (3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……
佩爾-盧卡斯數
佩爾-盧卡斯數由以下的遞推關係定義:
也就是說,數列中的最初兩個數都是2,後面每一個數都是前一個數的兩倍加上再前面的一個數。這個數列的最初幾個項是(OEIS數列A002203):2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……
佩爾-盧卡斯數的通項公式為:
這些數都是偶數,每一個數都是以上的近似值中的分子的兩倍。
參考文獻
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