在數學與物理中,哈密頓向量場是辛流形上一個向量場,定義在任何能量函數或哈密頓函數上。以物理學家和數學家威廉·盧雲·哈密頓命名。哈密頓向量場是經典力學中的哈密頓方程的幾何表現形式,哈密頓向量場的積分曲線表示哈密頓形式的運動方程的解。由哈密頓向量場生成的流是辛流形的微分同胚,在物理中稱為典範變換,在數學中稱為(哈密頓)辛同胚。
哈密頓向量場可以更一般地定義在任何泊松流形上。對應於流形上的函數 f 與 g 的兩個哈密頓向量場的李括號也是一個哈密頓向量場,其哈密頓函數由 g 與 f 的泊松括號給出。
定義
假設 (M,ω) 是一個辛流形。因為辛形式 ω 非退化,誘導了切叢
與餘切叢
的一個線性同構
![{\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe63dbf7c94a8f1f0d5f8e90047ad8794ef1dca)
以及逆
![{\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6a5e15286d4b2ffa1887ccc56d98a1d45702ba)
從而,流形 M 上的1-形式可以與向量場等價起來,故任何可微函數
確定了惟一的向量場 XH = Ω(dH),稱為哈密頓函數 H 的哈密頓向量場。即對 M 上任何向量場 Y,等式
![{\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea1f56968333eabd65f496b2c6bd63b7d67efb1)
一定成立。
注:一些作者定義哈密頓向量場為相反的符號;需注意物理與數學著作的不同習慣。
例子
假設 M 是一個 2n 維辛流形。則由達布定理,我們在局部總可以取 M 的一個典範坐標
,在這個坐標系下辛形式表示為
![{\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f5f3216ec0d4659bec3c4a446ad818f5b99b2a)
則關於哈密頓函數 H 的哈密頓向量場具有形式
![{\displaystyle X_{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde652f17a1f76b0c634ae5945001267626a55)
這裡 Ω 是一個 2n × 2n 矩陣
![{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848f2f5d3c45f6724297ae93653a5e24dd41f3fe)
假設 M = R2n 是 2n 維具有(整體)典範坐標的辛向量空間。
- 如果
則 ![{\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb44848041f996a646838114a255770e47d1914f)
- 如果
則 ![{\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3dac8ab7b7c9736c62c5d7fbd993bb27ec25b9)
- 如果
則 ![{\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165ba971e676bf62c713d4fbc478b5dad5bfda59)
- 如果
則 ![{\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2515034b3e3323731c96eb97fc467399fac11df)
性質
- 映射
線性的,所以兩個哈密頓函數之和變為相應的哈密頓向量場之和。
- 假設
是 M 上的典範坐標。則曲線
是哈密頓向量場 XH 的積分曲線當且僅當它是哈密頓方程的一個解:
![{\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9648aa6ddac7281113894d6d467b6eb5f77b2906)
- 哈密頓函數 H 在積分曲線上是常數,這就是
與時間 t 無關。這個性質對應於哈密頓力學中的能量守恆。
- 更一般地,如果兩個函數 F 與 H 的泊松括號為零(見下),則 F 沿着 H 的積分曲線為常數;類似地 H 沿着 F 的積分曲線是常數。這個事實是諾特定理背後的數學原理。
- 辛形式
在哈密頓流下不變;或等價地,李導數
這裡
是內乘,用到了李導數的嘉當公式。
泊松括號
哈密頓向量場的概念導致了辛流形 M 上的可微函數的一個斜對稱雙線性算子,這就是泊松括號,由如下公式定義
![{\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=df(X_{g})={\mathcal {L}}_{X_{g}}f\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f500c84ec38d6e9f74259722c74fc6e338c94b)
這裡
表示沿着向量場 X 的李導數。此外,我們可以驗證有恆等式:
![{\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d7e458dd64e9cd7f7b55b966875a200adef820)
這裡右邊表示哈密頓函數 g 與 g 對應的哈密頓向量場的李括號。事實上有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iota _{[X_{f},X_{g}]}\omega \\=&({\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}-\iota _{X_{g}}\circ {\mathcal {L}}_{X_{f}})\omega \\=&{\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}\omega \\=&(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})dg\\=&d(\iota _{X_{f}})dg)\\=&-d\{f,g\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3ffd404e5fde0b2285bc4dcc2f23407ce2771a)
作為一個推論,泊松括號滿足雅可比恆等式。
![{\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ac1fe4ec70c821bda5d7cd3118e265376f9b91)
這意味着 M 上可微函數組成的向量空間,賦予泊松括號,是 R 上的一個李代數,且映射
是一個李代數反同態,其核由局部常值函數組成(如果 M 連通則為常數)。
參考文獻