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四維凸正多胞體

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超立方體是6個四維凸正多胞體之一

數學中,四維凸正多胞體(英語:convex regular polychoron)是指一類既是的又是的的四維多胞體英語4-polytope(4-多胞形)。它們是正多面體三維)和正多邊形二維)的四維類比。它們最先在19世紀被數學家路德維希·施萊夫利所發現,其中五個與五個柏拉圖立體一一對應,另外一個(正二十四胞體)沒有好的三維類比。

每個四維凸正多胞體必須有同種的同樣大小的凸正多面體面面相接構成,並且每個頂點周圍必須有相同數量的胞。

特性

下面的表格描述了六個四維凸正多胞體的基本特性,表格的最後一列給出了它們所屬的考克斯特群,形象化描述了它們在一系列鏡面反射中的抽象群;及這個群的

名稱 家族 施萊夫利
符號
頂點 頂點圖 對偶 對稱群
正五胞體
超稜錐
超正四面體
四維單純形
單純形
(n-單純形)
{3,3,3} 5 10 10
正三角形
5
正四面體
正四面體 (自身對偶) A4 120
正八胞體
超正方體
超立方體
四維立方體
立方形
(n-立方形)
{4,3,3} 16 32 24
正四邊形
8
正六面體
正四面體 正十六胞體 B4 384
正十六胞體
超正八面體
四維正軸形
正軸形
(n-正軸形)
{3,3,4} 8 24 32
正三角形
16
正四面體
正八面體 正八胞體 B4 384
正二十四胞體
截半正十六胞體
重正八面體
(沒有好的其他維度類比) {3,4,3} 24 96 96
正三角形
24
正八面體
正六面體 (自身對偶) F4 1152
正一百二十胞體
超正十二面體
重正十二面體
正十二面體形
類五邊形形
(n-類五邊形形)
{5,3,3} 600 1200 720
正五邊形
120
正十二面體
正四面體 正六百胞體 H4 14400
正六百胞體
重正四面體
超正二十面體
正二十面體形
類二十面體形
(n-類二十面體形)
{3,3,5} 120 720 1200
正三角形
600
正四面體
正二十面體 正一百二十胞體 H4 14400

這6個四維凸正多胞體都是表面與三維球面(S3同胚的單連通多胞體,所以它們的歐拉示性數都為0,因此我們有以下歐拉公式的四維類比:

其中代表零維頂點數,代表一維棱數,代表二維面數,代表三維胞數。

可視化

以下的表格展示了6個四維凸正多胞體的多種二維投影(更多圖像可以在各自的頁面裡找到)。表頭給出了多胞體的施萊夫利符號考克斯特符號英語Coxeter-Dynkin digram

正五胞體 正八胞體 正十六胞體 正二十四胞體 正一百二十胞體 正六百胞體
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
node_1 3 node 3 node 3 node  node_1 4 node 3 node 3 node  node_1 3 node 3 node 4 node  node_1 3 node 4 node 3 node  node_1 5 node 3 node 3 node  node_1 3 node 3 node 5 node 
皮特里多邊形正對的正交線架投影.
三維固體填充正交投影

正四面體
凸包

(胞在前/頂點在前)

立方體凸包
(胞在前)

立方體凸包
(胞在前)

截半立方體
凸包

(胞在前)

截角菱形
三十面體
凸包

(胞在前)

五角化截半
十二面體
凸包

(頂點在前)
線架施萊格爾投影英語Schlegel diagram透視投影

(胞在前)

(胞在前)

(胞在前)

(胞在前)

(胞在前)

(頂點在前)
線架球極投影(四維超球球極投影)

參考

外部連結

四維正多胞體
正五胞體 超立方體 正十六胞體 正二十四胞體 正一百二十胞體 正六百胞體
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}