幻圓

南宋楊輝幻圓包含的幻數「69」多達16個

幻圓變化之一

幻圓是組合數學的一個分枝，將自然數排列在多個同心圓或多個連環圓上，使各圓周上數字之和相同，幾條直徑上的數字和也相同。著名的同心幻圓有南宋數學家楊輝的攢九圖和丁易東的太衍五十圖。

楊輝幻圓

楊輝《續古摘奇算法》有聚五圖，聚六圖，聚八圖，攢九圖，八陣圖，連環圖。

攢九圖

楊輝《續古摘奇算法》中的攢九圖以自然數1至33構成，9在圓心，其餘排列在四個同心圓上，每圈8個數。楊輝有如下攢九圖奇妙特點；

• 四條直徑上數字之和是147，
  • 28+5+11+25+9+7+19+31+12=147
• 四個圓周上數字之和加圓心9之和也是147。
  • 28+27+20+33+12+4+6+8+9=147
• 八條半徑線上數字（不包括9）之和=69
  • 27+15+3+24=69
• 四個圓周上數字之和（不包括9）=八條半徑線上數字和的兩倍。

楊輝攢九圖之構造

楊輝書中未曾說明幻圓的構造方法。新加坡大學藍麗蓉教授 建議將八組半徑數字分為兩組，構成兩個四階幻方，例如；

${\begin{bmatrix}28&5&11&25\\27&15&3&24\\6&32&29&2\\8&17&26&18\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}12&31&19&7\\4&21&14&30\\20&16&23&10\\33&1&13&22\end{bmatrix}}$

由於這兩個四階幻方縱數橫數之和都是69，只需從第一幻方和第二幻方中隨意各取一行，或隨意各取一列，構成同一條直徑上的兩對半徑，一共組成四條直徑，每直徑8個數，最後在圓心安方9，就不但可以排出楊輝幻圓；而且可以排除許許多多不同排列的幻園。此外，由於數字的和與數字的次序無關，因此；

• 任何兩組半徑數字，可以互換位置，
• 8組半徑數字，在可以在圓圈上任意排列，
• 任何兩組園圈，可以互換位置。

楊輝幻圓真是富於變化。如果限制四個圓周上必須有兩個同和半圓(半圓上的四個數字之和必須=69)，楊輝幻圓上的半徑位置就不可調換。如此一來，楊輝幻圓可以有

• 8條同和半徑；28+5+11+25=69，20+16+23+10=69，……
• 8條同和半圓； 27+28+8+6=69，20+33+12+4=69,15+5+17+32=69，21+32+1+16=69……

具有16個同和線段（和數為69）的幻圓不止一個，可依靠四個圓圈的不同排列得到，共有4x3x2=24種。

楊輝八陣圖

楊輝八陣圖

1至64， 64數字分為八個圓圈，每個圓圈內數目之和=260。 從西北角順時針方向各小圓之和為：

$40+24+9+56+41+25+8+57=260$ $14+51+46+30+3+62+35+19=260$

$45+29+4+61+36+20+13+52=260$ $37+21+12+53+44+28+5+60=260$

$47+31+2+63+34+18+15+50=260$

$7+58+39+23+10+55+42+26=260$

$38+22+11+54+43+27+6+59=260$

$48+32+1+64+33+17+16+49=260$

又東西方向和南北方向的八個數字之和也是260：

$14+51+62+3+7+58+55+10=260$

$49+16+1+64+60+5+12+53=260$

此外兩條對角線的16個數字之和為260的兩倍： $40+57+41+56+50+47+34+63+29+4+13+20+22+11+6+27=2*260=520$

楊輝連環圖

楊輝連環圖

1至72，共72個數字分為9個圓圈，排列成方陣如圖。

此連環圖奇妙之處在於連環生圈：由於左右相鄰的四個圈的數字連環，又多出4個 8字圓圈

連環圈由有以下相鄰的8字圈連環組成:

（東北，北，東，中）

（西北，北，西，中）

（東南，南，東，中）

（西南，南，西，中）

一共13個八字圈： ：西北，北，東北，東，東南，南，西南，西，中，（東北，北，東，中），（西北，北，西，中），（東南，南，東，中），（西南，南，西，中）

• 13個八字圈中任何一個八字圈的數字之和=292
• 橫向三個八字圈24個數字之和=876
• 縱向三個八字圈24個數字之和=876
• 對角線上三個八字圈24個數字之和=876

丁易東幻圓

南宋丁易東太衍五十圖

南宋數學家丁易東是楊輝同時代人，以自然數1至49作出六同心圓幻圓，稱之為太衍五十圖。

丁易東幻圓特性；

• 各圓周數字之和為200
  • 3+4+49+2+47+46+1+48=200;
  • 13+14+39+12+37+36+11+38=200;
  • ……
• 每圓周上的一個數與其相對點上數字之和=50；
  • 3+47=50，13+37=50……
• 四條直徑上數字之和為325
  • 據上條，6x50+25=325。

丁易東幻圓的構造

丁易東給出把三階幻方洛書變化為六階幻園太衍五十圖的的奇妙方法；

將從1至49的數字分成以下9組

• 凡個位數為1數按大小次序排為一組：1，11，21，31，41
• 凡個位數為2數按大小次序排為一組：2，12，22，32，42
• 凡個位數為3數按大小次序排為一組：3，13，23，33，43
• 凡個位數為4數按大小次序排為一組：4，14，24，34，44
• 凡個位數為6數按大小次序排為一組：6，16，26，36，46
• 凡個位數為7數按大小次序排為一組：7，17，27，37，47
• 凡個位數為8數按大小次序排為一組：8，18，28，38，48
• 凡個位數為9數按大小次序排為一組：9，19，29，39，49
• 5及其倍數按大小次序排為一組：5，10，15，20，25，30，35，40，45

按洛書口訣：「戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」排列數字組：

• 戴九：將「9字組」9，19，29，39，49 排在最頂部，49在上，循序循半徑往下排列，
• 履一，將「1字組」1，11，21，31，41作履，1排在最下，循序循半徑往上排列，
• 左三：將「3字組"3，13，23，33，43排在左邊，
• 右七，將「3字組"：7，17，27，37，47排在右邊，
• 二四為肩，將「2字組」2，12，22，32，42，「4字組」4，14，24，34，44按絡書方位排列在左上右上。
• 六八為足：將「6字組」6，16，26，36，46，「8字組」8，18，28，38，48按絡書方位排列在左下右下。
• 最後「5」字組5，10，15，20，25，30，35，40，45各數對應其1/5的數字組排列在最內一個圓上：
  • 5的1/5=1，排在「1字組」
  • 10的1/5=2，排在「2字組」……

程大位幻圓

聚五圖，聚六圖，聚八圖，攢九圖，八陣圖。

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參考文獻

• 《楊輝算法》 孫宏安 譯註 遼寧教育出版社 1997
• 《楊輝算法導讀》 郭熙漢 湖北教育出版社 1996