當且僅當

「當且僅當」的各地常用名稱
中國大陸	當且僅當
臺灣	若且唯若
港澳	當且僅當

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當且僅當的邏輯符號

當且僅當（英語：if and only if，iff），在數位邏輯中，邏輯算符反互斥或閘（英語：Exclusive NOR）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型，符號為XNOR或ENOR或$\Leftrightarrow$。與一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在數學、哲學、邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在這個條件成立，並且僅在這個條件成立時」之意。若命題$p,q$滿足「若$p$則$q$」且「僅當$p$則$q$」時，稱為「當且僅當$p$則$q$」，其他等價的說法有「$q$當且僅當$p$」；「$p$是$q$的充分必要條件（充要條件）」；「$p$等價於$q$」。

一般而言，當我們看到「當且僅當$p$則$q$」，我們可以知道「如果$p$成立時，則$q$一定成立；如果$q$成立時，則$p$也一定成立」；「如果$p$不成立時，則$q$一定不成立；如果$q$不成立時，則$p$也一定不成立」。

當且僅當

標記

與此相對應的邏輯符號是$\leftrightarrow$和$\Leftrightarrow$。這兩個通常被當作是相等的。但是，一些數學教科書，特別是那些關於一階邏輯而非命題邏輯對此有所區別，在那裡前者被用來表示邏輯公式，後者表示那些公式的推理（譬如說在元邏輯中）。

證明

設$p$與$q$為兩命題，在證明「當且僅當$p$則$q$」時，這相當於去同時證明陳述「如果$p$成立，則$q$成立」和「如果$q$成立，則$p$成立」。另外，也可以證明「如果$p$成立，則$q$成立」和「如果$p$不成立，則$q$不成立」，後者作為對偶，等價於「如果$q$成立，則$p$成立」。

有關英語縮寫iff的開端

在出版物中，英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯，但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處，他只是首先在數學領域使用。

「若」與「當且僅當」

簡單地，如下的兩個例子可以說明這兩者的不同：

1. 若冰淇淋是香草口味的，小王會吃。

   換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那麼小王一定會吃。

2. 當且僅當冰淇淋是香草口味的，小王會吃。

   換言之：如果冰淇淋是香草口味的，那麼小王一定會吃；且如果小王有吃冰淇淋，那麼冰淇淋一定是香草口味的。

第1句指小王一定會吃香草口味的冰淇淋，但沒有排除他會吃香草口味以外冰淇淋的可能性，能肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。

第2句指小王一定吃且只吃香草口味的，他不會吃其它口味的冰淇淋。

進一步的思考

用「當且僅當」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「當且僅當」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「當且僅當$p$則$q$」，是用$p$和$q$來陳述$p$和$q$所描述的事件狀況之間的關係。

相對照的，「$p$邏輯等價於$q$」則注重兩個句子：它只是陳述兩個句子之間的關係，而不是它們所介紹的什麼事情。

這裡的區別非常容易混淆，已經使得很多哲學家迷惑。當然，在「$p$邏輯等價於$q$」時，「當且僅當$p$則$q$」為真，但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子：

• 當且僅當冰淇淋是香草口味，則小王會吃這個冰淇淋。

很清楚，對於這個特定的雙條件句，兩個半句之間並沒有邏輯等價。

在哲學和邏輯學中，「當且僅當」通常用作定義，因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中，相比起「當且僅當」，如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到「當且僅當的」真陳述，也是真雙條件句（第一句是一個定義的例子）：

• 當且僅當一個人是未婚且可結婚的男人，則他是單身男性。
• 當且僅當$x=1$，則$x+1=2$。
• 對於任意命題$p,q,r$，當且僅當$(p\land q)\land r$，則$p\land (q\land r)$。

更一般的用法

「當且僅當」在邏輯領域以外，在數學出版物或者普通的談話中也會用到。如同上面所說，它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。

參見

• 充分必要條件
• 等價關係
• 等價符號