拓撲群
在數學中，拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲，使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的。拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念。
形式定義
和
是連續函數。這里的 G × G 被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間。
儘管我們這里沒有做其他要求，很多作者要求在 G 上的拓撲是豪斯多夫空間。下面會討論其理由和一些等價條件。最後，這不是個嚴重的限制 — 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間。
使用範疇論的語言，拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群對象，如同普通的群是集合範疇的群對象一樣。
同態
在兩個拓撲群 G 和 H 之間的同態就是連續群同態 G → H。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強，因其逆函數必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是（另一個）拓撲群。底層的群是一樣的（同構），但兩個拓撲群並非同構。
拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇。
例子
每個群可以平凡地變成一個拓撲群，這是通過給它一個離散拓撲達成地；這樣的群稱為離散群。在這個意義下，拓撲群的理論包含了普通群的理論。
實數 R，以及加法操作和它的普通拓撲構成一個拓撲群。更一般的，歐幾里得空間Rn連同加法和標準的拓撲構成拓撲群。更一般的，所有拓撲向量空間（譬如巴拿赫空間和希爾伯特空間）的加法群是拓撲群。
上面的例子都是阿貝爾群的例子。非交換群的例子有各種李群（是拓撲群也是流形）。例如，一般線性群GL(n,R)由所有可逆n×n實係數矩陣組成，可以視為拓撲群，其拓撲定義為將GL(n,R)作為歐幾里得空間Rn×n的子空間得到的子空間拓撲。所有李群是局部緊的。
不是李群的拓撲群的一個例子是有理數Q其拓撲從實數繼承。這是一個可數空間而它不是離散拓撲。對於一個非交換的例子，可以考慮R3的旋轉群由繞不同軸作2π的無理數倍的兩個旋轉所生成的子群。
在每個帶乘法單位元的巴拿赫代數中，可逆元素的集合構成一個乘法下的拓撲群。
性質
拓撲群的代數和拓撲結構以非平凡的方式互相影響。例如，在任何拓撲群中單位分支（也就是包含單位的連通分支）是一個閉正規子群。
拓撲群G上的逆運算給出了一個從G到其自身的同胚。同樣，若a是G的任意元素，則a的左乘和右乘產生G → G的一個同胚。
每個拓撲群可以兩種方式視為一個一致空間；「左一致性」將所有左乘變成一個一致連續映射，而「右一致性」將所有右乘變為一致連續映射。若G非交換，則這兩個一致性並不相同。這個一致性結構使得在拓撲群上討論完備性、一致連續、和一致收斂成為可能。
作為一個一致空間，每個拓撲群是一個完全正則空間。因而，若一個拓撲群是T0（也就是柯爾莫果洛夫空間），則它也是T2 (也即豪斯多夫空間)。
兩個拓撲群之間的最自然的同態概念是一個連續的群同態。拓撲群，和作為態射的連續群同態一起，構成一個範疇。
每個拓撲群的子群本身也是一個拓撲群，只要取子空間拓撲便可。若H是G的一個子群，所有左或右陪集G/H是一個拓撲空間，只要取商拓撲便可（G/H上使得自然投影q : G → G/H連續的最細拓撲)。可以證明商映射q : G → G/H總是開映射。
若H是一個G的正規子群，則因子群，G/H成為一個拓撲群，而從普通群理論來的同構基本定理在這個範圍中也是成立的。但是，若H不是G的拓撲下的閉集，則G/H不是T0的，即使G是。因此很自然可以要求限制到只考慮T0拓撲群的範疇，並且限制定義中的正規到正規且閉。
若H是G的子群，則H的閉包也是一個子群。同樣，若H是一個正規子群，則H的閉包也是正規的。
和數學其他領域的關係
對於調和分析有特殊重要性的是局部緊拓撲群，因為它們承認一個自然的測度和積分的概念，由哈爾測度給出。在很多方面，局部緊拓撲群是可數群的一個推廣，而緊拓撲群可以視為有限群的一個推廣。群表示理論對於有限群和緊拓撲群幾乎是完全一樣的。
參看
參考
- Husain, Taqdir. Introduction to Topological Groups. Philadelphia: W.B. Saunders Company. 1966.
- Pontryagin, Lev S. Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu 3rd ed. New York: Gordon and Breach Science Publishers. 1986. ISBN 978-2-88124-133-8.
