曲率半徑與曲率中心
在微分幾何中,曲率半徑R是曲率的倒數。 對於曲線上一點,曲率半徑等於最貼近該點曲線的圓弧半徑。 對於曲面上一點,曲率半徑是最貼合該點的法向截面或其組合的圓弧半徑。 [1] [2] [3]
定義
對於空間曲線,曲率半徑是曲率矢量的長度。
對於平面曲線,則曲率半徑是曲線上固定一點的弧長的微分與切角的微分之比[3]的絕對值
而κ是曲率。
公式
二維
若曲線在笛卡爾坐標中為y(x) 作為函數圖,則其曲率半徑為(假設曲線可進行二階微分)
其中![{\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155ae2824a8a429fd5515b941c0c86378821f8c3)
|z|為z的絕對值。
如果曲線是關於函數x(t)和y(t)的參數方程,則其曲率半徑為
其中![{\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61624a20562e354a0402eb3f7f7283ebdd58f93a)
![{\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d89b1f04c00a93461158cd569efcd2d625bfb79)
![{\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf479a4bad62fee2ee590a6134d7f2106014d35)
由此啟發,該結果可以表示為[2]
其中
n維
若γ : ℝ → ℝn是ℝn中的參數方程曲線,則曲線上每個點的曲率半徑ρ : ℝ → ℝ ,由[3]此可知
特殊情況下,若f(t)是從ℝ映射到ℝ的函數,則其圖象的曲率半徑γ(t) = (t, f (t))為
推導過程
令γ如上,並固定t 。我們想要找到一個與t處的γ零階、一階和二階導數相匹配的參數方程圓的半徑ρ 。顯然,半徑與位置γ(t) 無關,而與速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有關。 由向量v和w只能獲得三個獨立標量,即v · v 、 v · w和w · w 。因此,曲率半徑一定是關於這三個標量函數。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2,γ′(t) · γ″(t) 。 [3]
ℝn中圓的一般參數方程為
其中c ∈ ℝn是圓心(無關,因為它在求導過程中消失), a,b ∈ ℝn是長度為ρ的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ2,a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t處可兩次微分任意函數。
g的相關導數為
若現在將g的導數等同於t處γ的相應導數,可得
關於三個未知數( ρ 、 h′(t)和h″(t) )的三個方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半徑的公式為:
提高可讀性省略參數t ,可得
示例
半圓與圓
對於一個半徑為a的在上半平面的半圓
橢圓(紅線)及其漸屈線 (藍線)。點是橢圓的頂點, 及最大或最小的曲率半徑的點
對於一個半徑為a的在下半平面的半圓
該半徑為a的圓有等於a的曲率半徑。
橢圓
在長軸為2a短軸為2b的橢圓中, 長軸的頂點有該橢圓上最小的曲率半徑,
; 並且短軸的頂點有該橢圓上最大的曲率半徑 R = a2/b。
令橢圓的曲率半徑是關於參數t的方程, 即[4]
其中
令橢圓的曲率半徑是關於參數θ的方程, 即
其中橢圓的偏心率e, 是
應用
參考