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有序域

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數學的一個分支代數中,有序域是一個全序關係通過加法乘法運算不被改變的。有序域最常見的例子是實數

定義

一個滿足下面兩個條件的、擁有全序關係的域被定義為有序域:對於任何中的元素以下兩個條件獲得滿足:

  • ,則
  • ,則

大於0的元素被稱為是正的,小於0的元素被稱為是負的

特性

由以上定義可以直接推導出以下特性(的元素):

  • 一個正的元素的負數是負的,一個負的元素的負數是正的:即任何中的,假如
  • 不等式可以相加:
  • 不等式可以與正元素相乘:
  • 平方數不是負的:,尤其
  • 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的:

結構

所有有序域都具有特徵數0。這個結論直接出於上述的最後一個特性

每個有序域的子域也是有序域。任何含特徵數0的域其最小子域與有理數同構,且這個子域的排序與一致。

假如一個有序域中的任何元素都介於兩個有理數之間的話,則該域具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的,而超實數則不具有。

有序域的排序可用來定義拓撲空間,這個拓撲空間可由作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。

例子

  • 有理數組成最小的有序域
  • 實數和其中的任何部分域
  • 超實數