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柯西乘積

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數學上,以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積,是指兩組數列的離散卷積

該數列乘積被認為是自然數的半群環的元素。

級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數(不需要收斂

一般地,對於實數複數柯西乘積定義為如下的離散卷積形式:

這裡

「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂,參見形式冪級數

人們希望,通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推,得到無窮級數

等於如下乘積:

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態的情況下,上述式子成立。而更重要的一點,儘管這兩個無窮級數可能不收斂,它們的柯西乘積仍可能存在。

示例

有窮級數

對於,有 即為有窮級數,則 柯西乘積可以展開為,因此可以直接計算乘積。

無窮級數

  • 對某些,構造,由定義和二項式展開可知:

形式上, ,我們已表明。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積,(見下面的證明),因此我們就可證明這個表達式對於

  • 另外一個例子,令),則 對所有成立,則柯西乘積 ,該乘積不收斂。

收斂和梅爾滕斯定理

x, y為實數數列,弗蘭茲·梅爾滕斯(Franz Mertens)提出,如果級數收斂Y,且級數絕對收斂X,則他們的柯西乘積 收斂到XY

對於兩個級數為條件收斂時,結論未必成立。如下反例所示:

例子

考慮下述兩交錯級數

它們都是收斂的(其絕對值構成的級數因比較審斂法調和級數的發散性而發散)。其柯西乘積的項由下式給出:

其中整數 n ≥ 0。因為對於所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我們都有不等式 k + 1 ≤ n + 1nk + 1 ≤ n + 1,故對分母中的根式有 (k + 1)(nk + 1)n +1。因此,由於共有 n + 1 個被加項,故對於所有的整數 n ≥ 0

因此,cnn → ∞ 時並不趨於 0,級數 cn 發散(項測試)。

梅爾滕斯定理的證明

(重排後)。

,對任意給定的 ε > 0,因為絕對收斂,收斂,因此存在一個整數N,對於任意nN ,和存在一個正整數M,對於所有 ,有(由級數絕對收斂,則式子收斂到0),同樣的,存在一個整數L ,如果有 ,則

因此,對於所有n大於N, M, L,有:

根據收斂的定義,即:

切薩羅定理

如果xy是實數數列,且,則有:

推廣

所有上述證明也可推廣到複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積歐式空間上。這種情況下,如果兩組數列絕對收斂,則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積 。

與卷積函數的關係

我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列,視為上的函數。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如:常數級數1和其本身的柯西乘積,

有的有一些配對,比如任何級數與一個有限級數的乘積,的乘積,這與Lp空間有關。