梅西積

梅西積是三不互扣環現象的代數推廣。

代數拓撲中，梅西積（Massey product）是（Massey 1958）引入的一種高階上同調運算，推廣了上積。梅西積由美國代數拓撲學家William S. Massey提出。

梅西三元積

令$a,\ b,\ c$為微分分次代數$\Gamma$的上同調代數$H^{*}(\Gamma )$的元素。若$ab=bc=0$，則梅西積$\langle a,b,c\rangle$是$H^{n}(\Gamma )$的子集，其中$n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1$。

梅西積是通過代數手段定義的：將元素$a,\ b,\ c$提升到$\Gamma$的元素$u,\ v,\ w$的等價類，取這些元素的梅西積，然後向下推到上同調。這可能產生定義明確的上同調類，也可能不確定。

定義${\bar {u}}$為$(-1)^{\deg(u)+1}u$。$\Gamma$中元素u的上同調類可表為$[u]$。3個上同調類的梅西三元積定義為

$\langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.$

3個上同調類的梅西積不是$H^{*}(\Gamma )$的元素，而是$H^{*}(\Gamma )$元素的集合，可能是空的也可能包含多個元素。若$u,v,w$分別有$i,\ j,\ k$的度數，則梅西積的度數為$i+j+k-1$，其中的$-1$來自微分${\rm {d}}$。

若積$uv$、$vw$都是精確的，則梅西積非空，這時其所有元素都在商群

$\displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).$

的同一個元素中。因此，梅西積可看做定義在類三元組上的函數，其中的類在上述商群中取值，使得前兩個類或後兩個類之積為零。

更通俗地說，若兩逐對積$[u][v]$、$[v][w]$都在同調中為零（$[u][v]=[v][w]=0$），即對某鏈s、t有$uv=ds$、$vw=dt$，則三元積$[u][v][w]$「為零有兩個原因」：是$sw$、$ut$的邊界（由於$d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,$且$[dw]=0$因為同調的元素是循環）。有界循環s、t有不確定性，在移動到同調時變為零；又因為$sw$、$ut$有相同邊界，將它們相減（符號約定是為正確處理分次）會得到上循環（差值的邊界變為零），這樣就得到了良定義的同調元素——這一步類似於用n維映射/鏈的空同倫/空同調的不確定性來定義第$n+1$個同倫/同調群。

從幾何學角度來看，在流形的奇異上同調中，可按龐加萊對偶用有界流形與交來解釋積：與上循環對偶的是循環，常表為無界閉流形；與積對偶的是交；與有界積相減對偶的是將兩有界流形沿邊界粘合，得到閉流形，表示梅西積的同調類對偶。實際上，流形同調類不總能用流形表示，因為循環可能有奇點，但這時對偶圖是正常的。

高階梅西積

更一般地說，$H^{*}(\Gamma )$的n個元素的n元梅西積$\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$定義為如下形式的元素之集

${\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}$

對方程

$da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}$,

的所有解，其中$1\leq i\leq j\leq n$、$(i,j)\neq (1,n)$，${\bar {u}}$表示$(-1)^{\deg(u)}u$。

高階梅西積$\langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle$可看作是在所有$1\leq i\leq j\leq n$的情形下求解後一個方程組的障礙，從這個意義上說，當且僅當這些方程可解時，包含了0上同調類。這樣的n元梅西積是$n-1$階上同調運算，即要使它費用，很多低階梅西運算必須包含0，且其代表的上同調類都通過涉及低階運算的項來區分。2元梅西積是通常的上積，是一階上同調運算；3元梅西積是二階上同調運算。

J. Peter May （1969）描述了進一步的推廣，稱作矩陣梅西積，可描述艾倫伯格–摩爾譜序列的微分。

應用

三不互扣環的補有非平凡梅西積。

三不互扣環的補給出了一個三元梅西積有定義且非零的例子。注意補的上同調可用亞歷山大對偶性計算，若u、v、w是與3環對偶的1上鏈，則任意兩者之積都是相應環繞數的倍數，因此為零，而三元梅西積都不為零，表明三不互扣環是相連的。代數反映幾何：這些環兩兩不連接，對應二元梅西積為零；而總體上是連接的，對應三元梅西積不為零。

非平凡布倫尼環，對應不為零的梅西積

更一般地，使任意$(n-1)$個子鏈不相連，而整體的n元鏈非平凡地鏈接的n元布倫尼環對應n元梅西積，$(n-1)$元子鏈不連接，對應$(n-1)$元梅西積為零，n元鏈對應n元梅西積不為零。

Uehara & Massey (1957)用梅西三元積證明，懷特海積滿足雅可比恆等式。

計算扭曲K理論時，高階梅西積作為阿蒂亞–希策布魯赫譜序列（AHSS）出現。Atiyah & Segal (2006)證明，若H是扭曲3類，AHSS中作用在x類上的高階微分$d_{2p+1}\$由p份H與1份x的梅西積給出。

若流形是形式流形（formal manifold）（丹尼斯·蘇利文定義），則空間上所有梅西積都為零；因此，證明給定流形不形式的一種策略是找到非平凡梅西積。當中「形式流形」從其德拉姆復形的有限維「最小模型」中推斷得流形有理同倫類。Deligne 等人 (1975)證明，緊凱勒流形是形式流形。

Salvatore & Longoni (2005)用梅西積證明，透鏡空間兩點的構型空間的同倫類非平凡地決定了透鏡空間的簡單同倫等價類。

另見

• 戶田括號

參考文獻

• Atiyah, Michael; Segal, Graeme, Twisted K-theory and cohomology, Inspired by S. S. Chern, Nankai Tracts in Mathematics 11, Hackensack, NJ: World Scientific Publishers: 5–43, 2006, ISBN 978-981-270-061-2, MR 2307274, S2CID 119726615, arXiv:math.KT/0510674 , doi:10.1142/9789812772688_0002 
• Deligne, Pierre; Griffiths, Phillip; Morgan, John; Sullivan, Dennis, Real homotopy theory of Kähler manifolds, Inventiones Mathematicae, 1975, 29 (3): 245–274, Bibcode:1975InMat..29..245D, MR 0382702, S2CID 1357812, doi:10.1007/BF01389853 
• Massey, William S., Some higher order cohomology operations, Symposium internacional de topología algebraica (International symposium on algebraic topology), Mexico City: Universidad Nacional Autónoma de México and UNESCO: 145–154, 1958, MR 0098366 
• May, J. Peter, Matric Massey products, Journal of Algebra, 1969, 12 (4): 533–568, MR 0238929, doi:10.1016/0021-8693(69)90027-1  
• McCleary, John, A User's Guide to Spectral Sequences, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 58 2nd, Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-56759-6, MR 1793722, Chapter 8, "Massey products", pp. 302–304; "Higher order Massey products", pp. 305–310; "Matric Massey products", pp. 311–312 
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo, Configuration spaces are not homotopy invariant, Topology, 2005, 44 (2): 375–380, MR 2114713, S2CID 15874513, arXiv:math/0401075 , doi:10.1016/j.top.2004.11.002 
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S., The Jacobi identity for Whitehead products, Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton, N.J.: Princeton University Press: 361–377, 1957, MR 0091473 

外部連結

• He Wang. Massey product and its applications (PDF). 2012-10-04.  – contains many explicit examples
• R. R. Bruner. An Adams Spectral Sequence Primer (PDF). 2009-06-02.  – Bruner's notes
• Juan S. Massey products in the Adams Spectral Sequence. Stack Exchange. 2012-08-01.  – contains references useful for understanding how to do these computations
• Daniel Grady. Massey products and $A_{\infty }$ structures. MathOverflow. 2015-02-25.