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積分判別法

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積分判別法,又稱柯西積分判別法、麥克勞林-柯西判別法,是判斷一個實級數或數列收斂的方法。當非負遞減時,級數收歛當且僅當積分有限。在17、18世紀,馬克勞林奧古斯丁·路易·柯西發展了這個方法。

證明

考慮如下積分

注意單調遞減,因此有:

進一步地,考慮如下求和:

中間項的和為:

對上述不等式取極限,有:

因此,若積分收斂,則無窮級數收斂;若積分發散,則此級數發散。

例子

調和級數是發散的,因為它的原函數是自然對數

,當時。

而級數則對所有的ε > 0都是收斂的,因為:

,對於所有

參考

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073