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素理想

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數學中,素理想(Prime ideal)是環的一個子集,與整數環中的素數共享許多重要的性質。

正式定義

  • R理想P是素理想,當且僅當它是一個真理想(也就是說,PR),且對於R的任何兩個理想AB,若有ABP,則APBP

交換環的素理想

素理想對交換環有一個較簡單的描述:設R是一個交換環,如果它具有以下兩個性質,那麼R的理想P是素理想:

  • 只要abR的兩個元素,使得它們的乘積ab位於P內,那麼要麼a位於P內,要麼b位於P內。
  • P不等於整個環R

這推廣了素數的以下性質:如果p是一個素數,且p能整除兩個整數的乘積ab,那麼p要麼能整除a,要麼能整除b。因此,我們可以說:

正整數n是素數,當且僅當理想nZZ的素理想。

例子

  • 如果R表示係數二元多項式C[X, Y],那麼由多項式Y2X3X − 1生成的理想是素理想(參見橢圓曲線)。
  • 在整係數多項式環Z[X]中,由2和X生成的理想是素理想。它由所有常數項為偶數的多項式組成。
  • 在任何環R中,極大理想是一個理想M,它是R的所有真理想的集合中的極大元,也就是說,M包含R的正好兩個理想內,即M本身和整個環R。每一個極大理想實際上是素理想;在主理想整環中,每一個非零的素理想都是極大的,但這一般不成立。
  • 如果M是光滑流形RM上的光滑函數環,而xM中的一個點,那麼所有滿足f(x) = 0的光滑函數f形成了R內的一個素理想(甚至是極大理想)。

性質

  • 交換環R中的理想I是素理想,當且僅當商環R/I整環
  • R的理想I是素理想,當且僅當R \ I在乘法運算下封閉。
  • 每一個非零的交換環都含有至少一個素理想(實際上它含有至少一個極大理想),這是克魯爾定理的一個直接結果。
  • 一個交換環是整環,當且僅當{0}是一個素理想。
  • 一個交換環是,當且僅當{0}是唯一的素理想,或等價地,當且僅當{0}是一個極大理想。
  • 一個素理想在環同態下的原像是素理想。
  • 兩個素理想的和不一定是素理想。例如,考慮環,它的素理想為P = (x2 + y2 - 1)和Q = (x)(分別由x2 + y2 - 1和x生成)。然而,它們的和P + Q = (x2 + y2 - 1 , x) = (y2 - 1 , x)不是素理想。注意商環具有零因子意味着不是整環,因此P + Q不能是素理想。

非交換環的素理想

如果R非交換環,那麼R的理想P是素理想,如果它具有以下兩個性質:

  • 只要abR的兩個元素,使得對於R的所有元素r,它們的乘積arb都位於P內,那麼要麼a位於P內,要麼b位於P內。
  • P不等於整個環R

對於交換環,這個定義等價於前面所述的定義。對於非交換環,這兩個定義是不同的。使ab位於P內意味着ab位於P內的理想稱為完全素理想。完全素理想是素理想,但反過來不成立。例如,n × n矩陣環中的零理想是素理想,但不是完全素理想。

例子

參考文獻

  • David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256頁.