一個無阻尼彈簧 - 質量體系統構成一個簡諧振子。
古典力學中,一個諧振子(英語:harmonic oscillator)乃一個系統,當其從平衡位置位移,會感受到一個恢復力
正比於位移
,並遵守虎克定律:
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
其中
是一個正值常數。
如果
是系統僅受的力,則系統稱作簡諧振子(簡單和諧振子)。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動,且振幅與頻率都是常數(頻率跟振幅無關)。
若同時存在一摩擦力正比於速度,則會存在阻尼現象,稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形,振動頻率小於無阻尼情形,且振幅隨著時間減小。
若同時存在跟時間相關的外力,諧振子則稱作是受驅振子。
力學上的例子包括了單擺(限於小角度位移之近似)、連接到彈簧的質量體,以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子(electrical harmonic oscillator,參見RLC電路)。
簡諧振子
簡諧振子沒有驅動力,也沒有摩擦(阻尼),所以淨力單純為:
![{\displaystyle F=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ab50da294be7a22dc7b7eaa377c610c8bb4dea)
利用牛頓第二定律
![{\displaystyle F=ma=-kx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6988e81d9ba8271a17aa447309a26f6cf16f8f)
則加速度
等於是
的二次微分導數:
![{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3fd729b234963e5ae6f5b173aef7af496a2f72e)
若定義
,則方程式可以寫為如下:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d7d362eeaf153c22bf1c5b8e1bdabe651faeae)
可以觀察到:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1d1d7f4eed7c6e1ea0e4a8e898a18e1a24c220)
然後代回原式得到
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7e3dfefb34f03707f19a9826394684efc3697c)
![{\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf8cc3e88d15771285f8000f5b9275a25cb5b85)
積分可得
![{\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996f30aacbfe6c7659740426caa23aa5b30c24dc)
其中K是積分常數,設K = (A ω0)2
![{\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98492ed95049767c2e8dd8a825ed51d32bfac911)
![{\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07887ffaf0cf6f54cd07427f71507c24f8a94b9f)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d8dcc66a8a2a11891a58a2c7266f5cd4956fc1)
經過積分,結果(包括積分常數φ)為
![{\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6b9385085dba8d1b43631b5331bb7429667088)
並有一般解
![{\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a1680de97e57b994626237b22b5bb75856ad7e)
其中振幅
以及相位
可透過初始條件來決定。
另外也可以將一般解寫成
![{\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d129cb49e0c84ac9df4d2d05dbec4490a2606b2)
其中
的值與前面形式相比,偏移了
;
又可以寫作
![{\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4dfbcbceea9612eafad10fc045559948cd34a0)
其中
與
為透過初始條件決定的常數,以替代前面形式的
與
。
振動頻率則為
![{\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b424c596ccade161035722f3d8c12ca4448c5ea)
動能為
.
以及勢能(位能)為
![{\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088586042b83c7741e1f10f7efaebed4a94ccc09)
所以系統總能為定值:
![{\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f86c2462d4299c53ed352655ff63ae9f8b9535)
受驅諧振子
一受驅諧振子滿足如下非齊次(nonhomogeneous)二階線性微分方程
,
其中
是驅動振幅而
是驅動頻率,針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC(電感L-電容C)電路以及理想化的彈簧系統(沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力)。
阻尼諧振子
一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程
,
其中
是由實驗決定的阻尼常數,滿足關係式
。遵守此方程式的系統,其中一例為置於水中的加權彈簧(weighted spring),若假設水所施的阻尼力與速度
呈線性比例關係。
阻尼諧振子的頻率為
![{\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e37562b359d78c73b3dfa83621e0b1c0a2403c)
其中
。
受驅阻尼振子
受驅阻尼振子滿足方程式
。
其一般解為兩個解的和,一為暫態解(無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解),與初始條件相關;另一為穩態解(非齊次常微分方程式之特殊解),與初始條件無關,只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。
穩態解為
![{\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a047966b7e5dcad3021ae062b56f6ebf8c9f0e)
其中
![{\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8ce054143e7598e9c9a5367ebe70d6a079a6540)
為阻抗(impedance)或線性響應函數(linear response function)之絕對值
![{\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e06864dcd9312f1751449d58382ccd9f7729df)
而
![{\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810085c128da10a0989ca318ba449f96f766c400)
為相對於驅動力(相位定為0)的振動相位。
可以觀察到,當在某特定驅動頻率
時,振子振動之振幅(相對於一給定之
)達到最大。這發生在頻率為
![{\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322c6319f9fb421b24f5e7601919efe214d8f1dc)
之時,而此現象稱之為(位移上的)共振。
總結來說,在穩態時,振動頻率等同於驅動力的頻率,但振動與驅動力在相位上有偏移;且振幅大小與驅動頻率相關,當驅動頻率與振動系統偏好(共振)頻率相同時,振幅達到最大。
例子:RLC電路;電阻類比於阻尼。
完整數學描述
多數諧振子,至少近似上地說,是在解以下的微分方程式:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ceb585edbaf898def1ce2e4f8357af82a86a80)
其中t是時間,b是阻尼常數,ωo是本徵角頻率,而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物,其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量;可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關,關係式為
。
重要項
- 振幅:偏離平衡點的最大的位移量。
- 週期:系統完成一個振盪循環所需的時間,為頻率的倒數。
- 頻率:單位時間內系統執行的循環總數量(通常以赫茲 = 1/秒為量度)。
- 角頻率:
![{\displaystyle \omega =2\pi f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1bf35d395c2d52391265e4bbda0aed14f52579)
- 相位:系統完成了循環的多少(開始時,系統的相位為零;完成了循環的一半時,系統的相位為
)。
- 初始條件:t = 0時系統的狀態。