遍歷理論

遍歷理論（英語：Ergodic theory）是研究具有不變測度（英語：Invariant measure）的動力系統及其相關問題的一個數學分支。 遍歷理論研究遍歷變換，由試圖證明統計物理中的遍歷假設（英語：Ergodic hypothesis）而來。

遍歷變換

概率空間上的一個保測變換T 稱為遍歷的，如果在T 下不變的可測集的測度必為0或1。這個性質的一個舊術語是度量推移的。

考慮適定的函數f的時間平均。這定義為從某個初始點x開始的時間間隔T的取值的平均。

{\hat {f}}(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(T^{k}x\right)

再考慮f的空間平均和相位平均，定義為

{\bar {f}}=\int f\,d\mu

其中μ是概率空間的測度。

一般來說，時間平均和空間平均可能不同。但是若變換是遍歷的，而該測度不變，則時間均值和空間均值幾乎處處相等。這就是著名的遍歷定理，其抽象形式由喬治·戴維·伯克霍夫給出。平均分布定理是遍歷定理的一個特殊情況，專門處理單位間隔上的概率分布。

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