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上閉集合

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集合 {1,2,3,4}的冪集代數,其中綠色部分組成上部集合↑{1} ,白色部分組成下部集合 ↓{2,3,4}。

數學中,上部集合向上閉合集合)是給定偏序集合 (X,≤) 的子集 Y,使得對於所有元素 xy,如果 x 小於等於 y,並且 xY 的一個元素,則 y 也在 Y 中。更加形式的說

對偶概念是下部集合(向下閉合集合),它是給定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y,使得對於所有元素 xy,如果 x 小於等於 y,並且 yY 的一個元素,則 x 也在 Y 中。更加形式的說

性質

所有偏序集合都是自身的上閉集合。上閉集合的交集還是上閉集合。任何上閉集合的補集都是下閉集合,反之亦然。

給定偏序集合 (X,≤),用包含關係排序的 X 的下閉集合的家族是完全格下閉集合格 O(X)。

給定有序集合 X 的任意子集 Y,包含 Y 的最小的上閉集合使用上箭頭指示為 ↑Y。對偶的,包含 Y 的最小下閉集合使用下箭頭指示為 ↓Y。下閉集合被稱為主要的,如果它有 ↓{x} 的形式,這裏的 xX 的一個元素。一個有限有序集合 X 的所有的下閉集合 Y 等於包含 Y 的所有極大元的最小下閉集合:Y = ↓Max(Y),這裏的 Max(Y) 指示包含 Y 的極大元素的集合。

有向下閉集合叫做序理想

任何上閉集合的極小元形成一個反鏈(antichain)。反過來任何反鏈 A 確定一個上閉集合 {x:對於 A 中某個 y, xy}。對於滿足降鏈條件的偏序,在反鏈和上閉集合之間這種對應是一對一的,但對於更一般的偏序這不為真。

序數

序數通常被當作所有更小序數的集合。所以序數嚴格是序數的下閉集合。

引用

  • Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, 247, 229–255.
  • Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T0) and (T1)
  • Davey, B.A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order Second Edition. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1. 

外部連結