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伽遼金法

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伽遼金方法(Galerkin method)是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題(通過方程所對應泛函變分原理)簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維(多變量)的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化,從而達到求解微分方程的目的。

伽遼金法採用微分方程對應的弱形式,其原理為通過選取有限多項試函數(又稱基函數形函數),將它們疊加,再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分(權函數為試函數本身)滿足原方程,便可以得到一組易於求解的線性代數方程,且自然邊界條件能夠自動滿足。

必須強調指出的是,作為加權餘量法的一種試函數選取形式,伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解(僅僅是加權平均滿足原方程,並非在每個點上都滿足)。

因為伽遼金方法的妙處在於研究它們的抽象方法,所以我們首先給出它們的抽象推導。最後我們再給出應用的例子。


常常用到伽遼金法的領域有:

通過抽象問題的簡介

一個問題的弱形式

我們通過一個抽象問題來引入伽遼金方法,將問題表示成在一個希爾伯特空間上的弱形式,也就是,求解使得對於所有

成立。這裏,是一個雙線性型表達式,即是一個上的線性形表達式。

伽遼金離散化

選取一個n 維子空間,然後求解問題在子空間中的投影:求使得對於所有

我們稱這個方程為伽遼金方程。注意方程形式沒有改變,但是求解域改變了。

伽遼金正交性

這是使得伽遼金方法非常有效的關鍵性質。因為,我們可以取為原方程的一個試向量。帶入並相減,便得到誤差的伽遼金正交性關係

這裏是真實解和伽遼金方程的解之間的誤差。

矩陣形式

因為伽遼金方法的目標是將問題簡化為線性方程組,我們來構造它的矩陣形式,以便利用計算機進行數值求解。

空間中的一組。則顯然依次選取這些基向量作為伽遼金方程的試向量是充分的,也即:求解使得

用上述基向量表示出,將其代入上面的方程得到

這樣我們就得到了上面這組型的線性方程組,式中

矩陣的對稱性

由於矩陣項的定義,伽遼金方程的係數矩陣對稱矩陣充要條件是雙線性型表達式是對稱的。

伽遼金方法的進一步分析

這裏,我們只討論對稱雙線性型,也即

雖然伽遼金方法並不要求一定對稱,但這一限制使得標準理論的應用變得簡單的多。而且,非對稱情形的分析可能需要用到彼得羅夫-伽遼金方法

下面我們分兩步分析上述方法。第一步,論證伽遼金方程在哈達瑪意義下是適定的,因此存在唯一解。第二步,討論伽遼金解的誤差大小。

分析過程主要依據雙線性型的兩個性質:

  • 有界性:對於所有,下式成立
  • 橢圓性:對於所有,下式成立

根據Lax-Milgram定理(參看弱形式),這兩條性質保證了原問題的弱形式的適定性。下面章節中的所有範數都是使得上面的不等式成立的範數(這些範數通常稱為能量範數)。

伽遼金方程的適定性

因為,雙線性型的有界性和橢圓性對於也成立。因此,伽遼金問題的適定性實際上繼承自其原問題的適定性。

准最佳近似(Céa引理)

真實解和伽遼金解之間的誤差有如下估計

上式翻譯成文字語言就是:伽遼金解的誤差(和真實解的差)能控制在中最優解向量的誤差的倍以下(在量級上)。特別有用的是,從此對誤差的估計可以只在空間中進行考慮,而完全不用回到求解的方程。

證明

因為證明非常簡單,並且是各種伽遼金法的基本原理依據,因此簡單介紹如下: 根據雙線性型的橢圓性和有界性(下式中的兩個不等號),以及伽遼金法的正交性(下式中間的等號),我們對於任意有:

全式除以並對所有可能的下確界得到該引理。

例子

  1. 有限元法中應用泊松方程
  2. 應用到共軛梯度法

文獻

通常,伽遼金法不是文獻的單獨主題。它們和它們的應用同時討論。 因此,讀者可以參考有限元方法的教科書。

譬如

  • P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978


在這個框架下的Krylov空間法的分析可以在這裏找到:

  • Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003


外部連結