六進制
數制 |
記數系統 |
---|
數制列表 |
整數
六進制使用從0到5的六個數字, 將6表示為「10」,將7表示為「11」,將8表示為「12」。至於冪數,100是十進制36,1000是十進制216,而10000是十進制1296。這是通常用於由六個組成的事物如骰子。
序列的進行如下。
六進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
六進制 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 100 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十進制 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
六進制 | 230 | 231 | 232 | 233 | 234 | 235 | 240 | 241 | 242 | 243 | 244 | 245 | 250 | 251 | 252 | 253 | 254 | 255 | 300 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
十進制 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 |
在六進制系統中「5 +1 = 10」,因此「10÷2 = 3」和「10÷3 = 2」。因此,以3的倍數計數並除以3變得非常容易。在計數方法中,「七」變為「六一」(11),「十二」變為「二六」(20),「十八」變為「三六」(30),「二十一」變為「三六三」(33),「二十七」變為「四六三」(43)。
100(十進制36)之後的如下。
- 121 (1×62 + 2×61 + 1) = 十進制49
- 144 (1×62 + 4×61 + 4) = 十進制64
- 213 (2×62 + 1×61 + 3) = 十進制81
- 244 (2×62 + 4×61 + 4) = 十進制100
- 300 (3×62) = 十進制108
- 345 (3×62 + 4×61 + 5) = 十進制137
- 451 (4×62 + 5×61 + 1) = 十進制175
- 500 (5×62) = 十進制180
- 1000 (1×63) = 十進制216
- 1104 (1×63 + 1×62 + 0×61 + 4) = 十進制256
- 1405 (1×63 + 4×62 + 0×61 + 5) = 十進制365
- 2000 (2×63) = 十進制432
- 2521 (2×63 + 5×62 + 2×61 + 1) = 十進制625
- 3213 (3×63 + 2×62 + 1×61 + 3) = 十進制729
- 4344 (4×63 + 3×62 + 4×61 + 4) = 十進制1000
- 5000 (5×63) = 十進制1080
- 10000 (1×64) = 十進制1296
- 13000 (1×64 + 3×63) = 十進制1944
- 13132 (1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2) = 十進制2000
- 24000 (2×64 + 4×63) = 十進制3456
- 35052 (3×64 + 5×63 + 0×62 + 5×61 + 2) = 十進制5000
- 40000 (4×64) = 十進制5184
- 50213 (5×64 + 0×63 + 2×62 + 1×61 + 3) = 十進制6561
- 100000 (1×65) = 十進制7776
- 101043 (1×65 + 0×64 + 1×63 + 0×62 + 4×61 + 3) = 十進制8019
- 114144 (1×65 + 1×64 + 4×63 + 1×62 + 4×61 + 4) = 十進制10000
- 120000 (1×65 + 2×64) = 十進制10368
冪乗
在六進制中,由於2與3的指數相同,因此可以表示為 "10n = 2n×3n"。 六與十都是兩個素數的乘積,十的3×n乗(143×n)與六的4×n乗(104×n)彼此接近。因此,以十進制法分隔三位數字(例如公制)的系統將變為六進制法分隔四位數字。
指數 | 六進制 | 十進制 |
---|---|---|
1 | 10 | 6 |
2 | 100 | 36 |
3 | 1000 | 216 |
4 | 1 0000 | 1296 |
5 | 10 0000 | 7776 |
10 | 100 0000 | 4 6656 |
11 | 1000 0000 | 27 9936 |
12 | 1 0000 0000 | 167 9616 |
13 | 10 0000 0000 | 1007 7696 |
14 | 100 0000 0000 | 6046 6176 |
15 | 1000 0000 0000 | 3 6279 7056 |
20 | 1 0000 0000 0000 | 21 7678 2336 |
21 | 10 0000 0000 0000 | 130 6069 4016 |
22 | 100 0000 0000 0000 | 783 6416 4096 |
23 | 1000 0000 0000 0000 | 4701 8498 4576 |
24 | 1 0000 0000 0000 0000 | 2 8211 0990 7456 |
25 | 10 0000 0000 0000 0000 | 16 9266 5944 4736 |
30 | 100 0000 0000 0000 0000 | 101 5599 5666 8416 |
指數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 2 | 4 | 12 | 24 | 52 | 144 | 332 | 1104 | 2212 | 4424 | 13252 | 30544 |
3 | 3 | 13 | 43 | 213 | 1043 | 3213 | 14043 | 50213 | 231043 | 1133213 | 3444043 | 15220213 |
5 | 5 | 41 | 325 | 2521 | 22245 | 200201 | 1401405 | 12212241 | 105510125 | 545151121 | 4502320045 | 40120440401 |
素數
- 六進制的測定倍數
- 如果第一位是0,則該數字「可以被2和3整除」的數字,即10(六)的倍數。
- 如果第一位是3,則該數字「不可以被2整除, 但是以被3整除」的數字。
- 如果第一位是2或4,則該數字「可以被2整除, 但是不可被3整除」的數字。
- 如果第一位是1或5,則該數字「不能除以2或3整除」的數字。11(七)之後的素數首先是1或5。
六進制對於研究素數是很有用的,因為所有的素數,除了2和3以外,個位數都是1或5。在六進制中,最初的幾個素數為:
也就是說,對於所有除了2和3以外的素數都有或。另外,除了6以外,所有的完全數在六進制中都以44結尾。
分數
十進制 Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11 |
六進制 Prime factors of the base: 2, 3 Prime factors of one below the base: 5 Prime factors of one above the base: 11 | ||||
分數 | 分母 | Positional representation | Positional representation | 分母 | 分數 |
---|---|---|---|---|---|
1/2 | 2 | 0.5 | 0.3 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0.3333... = 0.3 | 0.2 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0.25 | 0.13 | 2 | 1/4 |
1/5 | 5 | 0.2 | 0.1111... = 0.1 | 5 | 1/5 |
1/6 | 2, 3 | 0.16 | 0.1 | 2, 3 | 1/10 |
1/7 | 7 | 0.142857 | 0.05 | 11 | 1/11 |
1/8 | 2 | 0.125 | 0.043 | 2 | 1/12 |
1/9 | 3 | 0.1 | 0.04 | 3 | 1/13 |
1/10 | 2, 5 | 0.1 | 0.03 | 2, 5 | 1/14 |
1/11 | 11 | 0.09 | 0.0313452421 | 15 | 1/15 |
1/12 | 2, 3 | 0.083 | 0.03 | 2, 3 | 1/20 |
1/13 | 13 | 0.076923 | 0.024340531215 | 21 | 1/21 |
1/14 | 2, 7 | 0.0714285 | 0.023 | 2, 11 | 1/22 |
1/15 | 3, 5 | 0.06 | 0.02 | 3, 5 | 1/23 |
1/16 | 2 | 0.0625 | 0.0213 | 2 | 1/24 |
1/17 | 17 | 0.0588235294117647 | 0.0204122453514331 | 25 | 1/25 |
1/18 | 2, 3 | 0.05 | 0.02 | 2, 3 | 1/30 |
1/19 | 19 | 0.052631578947368421 | 0.015211325 | 31 | 1/31 |
1/20 | 2, 5 | 0.05 | 0.014 | 2, 5 | 1/32 |
1/21 | 3, 7 | 0.047619 | 0.014 | 3, 11 | 1/33 |
1/22 | 2, 11 | 0.045 | 0.01345242103 | 2, 15 | 1/34 |
1/23 | 23 | 0.0434782608695652173913 | 0.01322030441 | 35 | 1/35 |
1/24 | 2, 3 | 0.0416 | 0.013 | 2, 3 | 1/40 |
1/25 | 5 | 0.04 | 0.01235 | 5 | 1/41 |
1/26 | 2, 13 | 0.0384615 | 0.0121502434053 | 2, 21 | 1/42 |
1/27 | 3 | 0.037 | 0.012 | 3 | 1/43 |
1/28 | 2, 7 | 0.03571428 | 0.0114 | 2, 11 | 1/44 |
1/29 | 29 | 0.0344827586206896551724137931 | 0.01124045443151 | 45 | 1/45 |
1/30 | 2, 3, 5 | 0.03 | 0.01 | 2, 3, 5 | 1/50 |
1/31 | 31 | 0.032258064516129 | 0.010545 | 51 | 1/51 |
1/32 | 2 | 0.03125 | 0.01043 | 2 | 1/52 |
1/33 | 3, 11 | 0.03 | 0.01031345242 | 3, 15 | 1/53 |
1/34 | 2, 17 | 0.02941176470588235 | 0.01020412245351433 | 2, 25 | 1/54 |
1/35 | 5, 7 | 0.0285714 | 0.01 | 5, 11 | 1/55 |
1/36 | 2, 3 | 0.027 | 0.01 | 2, 3 | 1/100 |
因為6是最小的兩個素數2和3的乘積,許多六進制的小數都有簡單的表示法:
十進制 | ||||||||||||||||
六進制 | ||||||||||||||||
六進制(小數) | 0.3 | 0.2 | 0.13 | 0.1 | 0.1 | 0.05 | 0.043 | 0.04 | 0.03 | 0.313452421 | 0.03 | 0.023 | 0.02 | 0.0213 | 0.02 | 0.014 |
六進制為2和3的同樣的冪,因此很容易將它們分為2和3個除法。 2的冪的倒數變為3的冪,而3的冪的倒數變為2的冪。因而對於大多分母是3的冪的分數,六進制的表示形式更簡短。
冪指數 | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -10 | -11 | -12 | -13 | -14 |
2 | 0.3 | 0.13 | 0.043 | 0.0213 | 0.01043 | 0.003213 | 0.0014043 | 0.00050213 | 0.000231043 | 0.0001133213 |
3 | 0.2 | 0.04 | 0.012 | 0.0024 | 0.00052 | 0.000144 | 0.0000332 | 0.00001104 | 0.000002212 | 0.0000004424 |
指數法
如果拳頭0,因為六種類型從0到5的數目可以在一個手來表示,六進制是方便用手指計數。
在這種方法中,一隻手位於一的位,另一隻手位於六的位, 計數到55(五六五 = 十進制35),100(十進制36)會導致數字溢出。例如,左手「1」和右手「5」表示「六五」即「十一」(六進制15 =十進制11), 左手「4」和右手「3」表示「四六三」即「二十七」(六進制43 =十進制27)。
可以表示小數和假分數,如果一隻手在"一"的位,另一隻手在"六分之一"的位,則可以計算不超過5.5(5和5/6)的分數。 兩位數的小數字的一隻手放在"六分之一"的位,另一隻手放在"三十六分之一"的位。例如,如果指示「44」,則除了「六進制44 = 十進制28」之外,還可以指示「4和2/3」(4和4/6 = 六進制4.4) 和「7/9」(十進制28/36 = 六進制0.44)。
用雙手進行計數的十進制不能在15(十進制11)之後進行計數,並且可以分為2和5,但是不能分為3和4。但是,用雙手計數的六進制最多可以計數55(十進制35),並且可以分為2和3,如果擴展為雙手,則可以分為4和9(六進制13)。
三十六進制
在某些場合下,六進制的底數6可能太小,不便於使用。此時,若講底數6擴充至6的平方,也就是36就能緩解此問題,這個進制就是三十六進制。由於36是6的平方,因此在三十六進制中,一個位數等於六進制的兩個位數。並且兩者存在一個一對一的轉換,也就是說六進制和三十六進制之間可以透過以下對照表轉換來完成:
十進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
六進制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
三十六進制 | 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H
|
十進制 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
六進制 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 |
三十六進制 | I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z
|
三十六進制使用0-9和A-Z的符號來表示數。由於約定俗成用於表示數的阿拉伯數字與拉丁字母恰好用完,因此36也是最後一個有約定俗成表示方法的進制底數,底數高於36的進制如三十七進制就會面臨符號不夠用的問題,目前沒有公認的模式來表達底數37或以上的進制,部份文獻會把各個位數以十進制表示,並用冒號(:)分隔[1]。
根據上表,例如三十六進制的數WIKIPEDIA(36)(這串英文字母組合的意義是維基百科)在六進制中表示為523032304122213014(6),可以觀察到,開頭的52對應到W、30對應到I,以此類推。這個數在十進制中是91,730,738,691,298。
參考資料
- ^ Base Convert. [2024-06-26]. (原始內容存檔於2021-07-20).
外部連結