割圓連比例是清代級數理論的幾何學基礎,最先由明安圖在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中闡明,其後經董祐誠、項名達等數學家的工作而趨於完善。[1]。割圓連比例的中心問題是已知圓弧長度,如何求弦長及矢高,或已知弦長、矢高,如何求得弧長。割圓連比例中心方法是結合由西方傳入的連比例方法,結合傳統中算方法,將圓弧分割成多等分,畫出多條矢,然後構造一系列相似三角形獲得一系列連比例式,再將圓弧分割越細,以折線逼近弧線,求得弧長[2]。
歷史背景
1701年,法國耶穌會傳教士杜德美(Pierre Jartoux 1668年至1720年)來到中國,他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈里創建的三個三角函數無窮級數[3]
![{\displaystyle \pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927d1b2a58834936e8f681b76350291214a27ce0)
![{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a9027c77b90e40215c01281b39d37730e7e537)
![{\displaystyle \operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976d03bd8a7c779169c0a04e17a31556a4971680)
這些計算π的「捷法」只涉及乘法和加減運算,速度遠超傳統劉徽割圓術涉及的平方根計算,因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密,於是他着手進行這項工作,前後歷時30年,完成了書稿《割圜密率捷法》,他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數,不僅推出杜德美的三個無窮級數,還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中,他發現和應用卡塔蘭數。
連比例
連比例圖
如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形,於是[4]。
AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;
- AB為第一率,以
表示
- BC為第二率,以
表示
- BC為第二率,以
表示
- CD為第三率,以
表示
- DE為第四率,以
表示
- EF為第五率,以
表示
- FG為第六率,以
表示
- ……
- 第m率:
![{\displaystyle \phi _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891eed289915668eb9484afd45036d104ea696e3)
於是:
![{\displaystyle \phi _{6}=k*\phi _{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7fea9e44b4ebd3ce379d0ee9460d37b21f814a)
![{\displaystyle \phi _{5}=k*\phi _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7bbe599e2e5c6843ae0f8d243f1a33e08e91f5)
![{\displaystyle \phi _{4}=k*\phi _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7182430571ce49ef787ab2c4ce5922c5ce06ca1c)
![{\displaystyle \phi _{3}=k*\phi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089049e0b56026c534870631132038706c308f5f)
![{\displaystyle \phi _{2}=k*\phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34058c6fb0d798b9098107818c17bffe9a3bc3c8)
![{\displaystyle \phi _{m}=k^{m-1}*\phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26e8616a547a6eaad74f88c85da644d6aef2ebf)
……
……
又:
明安圖割圓連比例
圖一 明安圖一弦二矢割圓連比例圖
圖二 明安圖發現卡塔蘭數 《割圜密率捷法》卷三
由二分弧通弦率數求全弧通弦率數法
如圖BCD為全弧,AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1;BD為通弦,BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此,
[5]
作EJ=EF,FK=FJ;延長BE直線至L,並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M,並BF=MF;連LM,顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G,L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI;顯然BI=BC。
作CG之平分線BM,並令BM=BC;連GM、CM;作CO=CM交BM於O;作MP=MO;作NQ=NR,R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;
∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形:ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得:[6]
- 連比第一率:AB=AC=AD=AE
- 連比第二率:BE=BC=BF=C
- 連比第三率:EF=CM
- 連比第四率:FJ
- 連比第五率:JK=OP
1:BE=BE:EF;即
於是
,
即
因為 風箏形ABEC 與BLIN相似,[6]。
即 ![{\displaystyle AB:BL=BL:(CI+JK)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143427399ab447d43998a3fc5ac16981ab571ba6)
- 令
![{\displaystyle BL=q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741b4ed98127b56f9121b56c7a42a4fd8be924e4)
![{\displaystyle AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629f2e1d7b4046e22b2c5238724674ae854f74db)
![{\displaystyle JK=p^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66feadcc71a20439a9448eee74f1b37578632ec)
![{\displaystyle CI=y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c4a922f392283c3e78cb6eee544f08cc51ffc0)
![{\displaystyle CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415670a7b373adf1ee9ebbd55caa9be40e21873b)
由此得
或
- 又
,代人p值得:
,於是
![{\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1a4aa88afb6e97e865870de339a689be42fcfe)
- 上式平方之,兩邊除以16:[7]
![{\displaystyle {\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}*{2 \choose j}*{\frac {q^{2*(2+j)}}{16^{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33be1d18c69df84accbf8ca5dc85ee71af8cb2d2)
- 即
![{\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb25d781fd29d91ae24e711719cbb5fbcb2be096)
依次類推
[8]。
將下列二式相加,可以消去
項:
![{\displaystyle x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1a4aa88afb6e97e865870de339a689be42fcfe)
![{\displaystyle {\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2*q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d350f371205ab81f6f5054f842219d67cdb8e035)
![{\displaystyle x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+*{\frac {q^{8}}{4096}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c284ce29073ac90aa8320b40e7ea4f993bd97d)
- 同理
,
.......
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4ac3a942e20bca4eb579d6b52d32e355aa6840)
展開式各項分子的係數 1,1,2,5,14,42,132……(見圖二 明安圖原圖最後一行,由右至左讀)乃是卡塔蘭數,明安圖是發現此數的世界第一人[9]。
因而得到:
[10][11]。
其中
為明安圖-卡塔蘭數。
- 明安圖利用他首創的遞推關係[12]:
![{\displaystyle C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}*{n-k \choose k+1}*C_{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441922245a9dafe17133271d512f6b3e6d068bfe)
![{\displaystyle \therefore GH:=p^{2}*x=({\frac {q}{2}})^{2}*x={\frac {q^{2}*x}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592d064541b854fe058b4efe7ebdb2555559ed2)
代人
- 最後得到[13]。
![{\displaystyle y_{2}=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6f1b4eab364224815f1ff395d02c54096e6c70)
三角學意義
在圖一中令BAE角=α,BAC角=2α
- x=BC=sinα
- q=BL=2BE=4sin(α/2)
- BD=2sin(2α)
明安圖獲得的
- 就是
![{\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325a3a206819130434911f491bbff2e8ed48086c)
![{\displaystyle =2*\sin(\alpha )-{\frac {2*\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98644a83ff128a30cf9469a762555475eb28cd6a)
- 即
![{\displaystyle \sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}*{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52348d698106c3b00986f6cfb43a354bb3d36b00)
由三分弧通弦率求全弧通弦率
明安圖割圓密率三分弧
如圖,BE為全弧通弦,BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC;作BG、EH=BC,Bδ=Eα=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ;又三角形Cαβ與三角形BδD相似。
因此:
,
依次類推,最後得:
[14][15]。
四分弦
四分弦
+……
。[16]。
- 幾何意義:
[17]。
五分弦
五分弦
- 幾何意義:
[18]。
十分弦
十分弦圖
從十分弦開始,明安圖不再作幾何模型,而是對無窮級數進行代數運算
顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合,即
;
展開即得:
+……[19]。
百分弧
同理,
,展開後即得:
……[20]。
千分弧
……[20]。
萬分弦
…………[21]。
弧背求通弦
y100,y1000 and y10000 可表為[22]:
..........
..............
..................
分弦數越大,分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近
24 、 24*80 ;當分弦數n趨向無窮大, n*a, 就變成 弧背,於是[23]
令c 為弦,a 為弧背,
.....
通弦求弧背
明安圖求得上述無窮級數的反逆,將弧表示為弦的無窮級數[23][24]:
............
正弦的無窮級數展開
,
令 r=1
…………
[25]。
參考文獻
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- ^ 徐傳勝 143
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- 明安圖原著 羅見今譯註 《割圓密率捷法譯註》內蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
- Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
- 李儼 《中算史論叢》 第三集 《明清算家的割圓術研究》《李儼錢寶琮科學史全集》第7卷