反正切 性質 奇偶性 奇函數 定義域 實數 集 對應域
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
週期 N/A 特定值 當x=0 0 當x=+∞
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
當x=-∞
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
其他性質 漸近線
y
=
±
π
2
{\displaystyle y=\pm {\frac {\pi }{2}}}
y =±90° 根 0 拐點 原點 不動點 0
反正切 （英語：arctangent ，記為
arctan
{\displaystyle \arctan }
arctg 或
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
[1] 反三角函數 ，是利用已知直角三角形 的對邊和鄰邊這兩條直角邊的比值 求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數 。在三角學 中，反正切被定義為一個角度 ，也就是正切 值的反函數 ，由於正切函數在實數 上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正切是單射 和滿射 也是可逆 的，但不同於反正弦 和反餘弦 ，由於限制正切函數 的定義域在
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
值域 是全體實數，因此可得到的反函數定義域也是全體實數，而不必再進一步去限制定義域。
由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值，剛好可以視為直角坐標系 的x座標與y座標，根據斜率 的定義，反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與座標軸 的夾角 。
反正切函數經常記為
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
arctan
{\displaystyle \arctan }
[2] ISO 31 -11標準應將反正切函數記為
arctan
{\displaystyle \arctan }
tan
−
1
{\displaystyle \tan ^{-1}}
1
tan
{\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
1
tan
{\displaystyle {\frac {1}{\tan }}}
餘切函數 。
定義 原始的定義是將正切函數 限制在
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}
反函數 複變分析 中，反正切是這樣定義 的：
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x={\frac {\mathrm {i} }{2}}\ln \left({\frac {{\mathrm {i} }+x}{{\mathrm {i} }-x}}\right)\,}
這個動作使反正切被推廣到複數 。
拓展到複數的反正切函數
直角坐標系中 在直角坐標系 中，反正切函數可以視為已知平面 上直線 斜率 的傾角
級數定義 反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義
反正切函數的泰勒展開式為：
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
a
r
c
t
a
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
⋯
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }
當
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \left|x\right|\leq 1}
x
≠
±
i
{\displaystyle x\neq \pm i}
圓周率 的近似值，最簡單的公式是
x
=
1
{\displaystyle x=1}
萊布尼茨公式 [3]
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
−
…
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\ldots }
更精確的寫法是梅欽類公式
π
4
=
4
a
r
c
t
a
n
1
5
−
a
r
c
t
a
n
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctan} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctan} {\frac {1}{239}}}
性質 由於反正切函數是一個奇函數 ，因此滿足下面等式：
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}
反正切函數的微分導數為：
a
r
c
t
a
n
′
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\rm {arctan}}'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}
a
r
c
t
a
n
″
x
=
−
2
x
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle {\rm {arctan}}''x={\frac {-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}\,}}}
a
r
c
t
a
n
‴
x
=
6
x
2
−
2
(
1
+
x
2
)
3
{\displaystyle {\rm {arctan}}'''x={\frac {\;6x^{2}-2\;}{\left(1+x^{2}\right)^{3}\,}}}
a
r
c
t
a
n
⁗
x
=
−
24
x
3
+
24
x
(
1
+
x
2
)
4
{\displaystyle {\rm {arctan}}''''x={\frac {\;-24x^{3}+24x\;}{\;\left(1+x^{2}\right)^{4}\,}}}
⋯
.
{\displaystyle \cdots \qquad .}
恆等式 和差
arctan
x
±
arctan
y
=
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
y
<
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},xy<1}
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy>-1}
arctan
x
±
arctan
y
=
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
>
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x>0,xy>1}
x
>
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x>0,xy<-1}
arctan
x
±
arctan
y
=
−
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
<
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan \,x\pm \arctan \,y=-\pi \pm \arctan \,{\frac {x\pm y}{1\mp xy}},x<0,xy>1}
x
<
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x<0,xy<-1}
Atan2 在三角函數 中，atan2是反正切函數的一個變種，有兩個變量，主要是提供給計算機編程語言一個簡便的角度計算方式，其定義為：
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
y
≥
0
,
x
<
0
arctan
(
y
x
)
−
π
y
<
0
,
x
<
0
+
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\qquad y\geq 0,x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\qquad y<0,x<0\\+{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}
參考文獻
^ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent （頁面存檔備份 ，存於互聯網檔案館 ）
^ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie , Encyclopædia Universalis.
^ Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里 " ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama
參見
![{\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc480741da18128936a24486e90845e818ee6ff)
![{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \mathrm {arctan} (x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3385465219696eff1fb4e5a231e063e94fcabe)
