同態濾波

同態濾波是一種廣泛用於信號和圖像處理的技術，將原本的信號經由非線性映射，轉換到可以使用線性濾波器的不同域，做完運算後再映射回原始域。同態的性質就是保持相關的屬性不變，而同態濾波的好處是將原本複雜的運算轉為效能相同但相對簡單的運算。這個概念在1960年代由Thomas Stockham，Alan V. Oppenheim和Ronald W. Schafer在麻省理工學院提出。

圖像增強

同態濾波利用去除乘性噪聲(multiplicative noise)，可以同時增加對比度以及標準化亮度，藉此達到圖像增強的目的。

一副圖像可以表示為其照度(illumination)分量和反射(reflectance)分量的乘積，雖然在時域上這兩者是不可分離的，但是經由傅立葉轉換兩者在頻域中可以線性分離。由於照度可視為環境中的照明，相對變化很小，可以看作是圖像的低頻成份；而反射率相對變化較大，則可視為高頻成份。通過分別處理照度和反射率對像元灰度值的影響，通常是藉由高通濾波器(high-pass filter)，讓圖像的照明更加均勻，達到增強陰影區細節特徵的目的。

做法

對於一副圖像，可表示為照射分量和反射分量的乘積，即

$m(x,y)=i(x,y)\cdot {r(x,y)}$

其中，m為圖像，i為照度分量，r為反射分量。

為了在頻域中使用高通濾波器，我們必須進行傅立葉轉換，但由於上式是一個乘積式，不能直接對照度和反射的頻率分量進行操作，因此對上式取對數

$\ln\{{m(x,y)}\}=\ln\{{i(x,y)}\}+\ln\{{r(x,y)}\}$

然後再對上式兩邊做傅立葉轉換，

${\mathcal {F}}\{\ln\{{f(x,y)}\}\}={\mathcal {F}}\{\ln\{{i(x,y)}\}\}+{\mathcal {F}}\{\ln\{{r(x,y)}\}\}$

並將${\mathcal {F}}\{\ln\{{f(x,y)}\}\}$定義為$M(u,v)$

接下來對圖像進行高通濾波，如此可以使圖像的照明更均勻，高頻分量增加且低頻分量減少

$N(u,v)=H(u,v)\cdot {M(u,v)}$

其中，N是頻域中濾波後的圖像，H是高通濾波器。

為了將圖像從頻域轉回時域，我們對N做傅立葉逆轉換

$n(x,y)={\mathcal {F^{-1}}}\{N(u,v)\}$

最後，對n使用指數函數(exponential)來復原我們一開始取的自然對數

$m'(x,y)=\exp\{n(x,y)\}$

其中m'為做完同態濾波的新圖像。

音頻和語音分析

在對數譜域中使用同態濾波來將濾波效應(filter effect)與激勵效應(excitation effect)分開，例如在表示聲音的倒頻譜(cepstrum)計算中， 對數譜域中的增強可以提高聲音清晰度，可以應用於助聽器。

表面肌電圖訊號

同態濾波用於消除源自sEMG信號的隨機脈衝串的影響。通過這種方式，只保留有關運動單元動作電位（MUAP）形狀和振幅的信息，如此用於估計MUAP本身的時域模型參數。