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同調球面

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數學的代數拓撲學中,同調球面n流形X,具有n-球面同調群。在此n ≥ 1是整數。換言之,

H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z)
對所有其他iHi(X,Z) = {0} .

因此X是一個連通空間,僅有一個非零的高階貝蒂數bn(除了 b0=1 外)。

由於Hn(X,Z)非零,故X緊緻可定向的。

n > 1時,雖然H1(X,Z) = {0},不過並不表示X單連通的,即X基本群未必是平凡的,只表示其基本群完滿群。(參看Hurewicz定理

有理同調球面的定義與上述類似,不過用有理系數的同調群代替。

龐加萊同調球面

龐加萊同調球面(又稱為龐加萊十二面體空間)是同調球面的一個例子。龐加萊同調球面是球面3-流形英語spherical 3-manifold,因此基本群是有限的。同調3-球面中,除了3-球面之外,就只有龐加萊同調球面有有限基本群。它的基本群稱為binary icosahedral group英語binary icosahedral group,這個群的目是120。

龐加萊在1900年猜想使用同調群就可以分辨3-流形是否3-球面,1904年他提出了這個反例,並引入了基本群概念證明他的反例不是球面,又將原來的猜想修改為龐加萊猜想

構造法

龐加萊同調球面的一個簡單構造法是使用正十二面體。將正十二面體的每個面與相對的另一面等同,將兩個面用順時針方向的最小「扭轉」重合。這樣黏合後得出的是閉3-流形。(參看用相似構造法及較大的「扭轉」而成的Seifert–Weber space英語Seifert–Weber space,得出的是一個雙曲3-流形。)

另一個得出龐加萊同調球面的方法,是用商空間SO(3)/I,此處 I 是二十面體群,就是正二十面體和正十二面體的旋轉對稱群同構交錯群A5。更直觀地說,龐加萊同調球面就是正二十面體在三維歐幾里得空間中,所有可從幾何區別的位置所組成的空間。

性質

二重懸垂定理英語Double suspension theorem指一個同調球面的二重懸垂是一個拓撲球面。

應用

A是一個不同胚於3-球面的同調3-球面,則A懸垂英語suspension (topology)是一個4維同調流形,卻不是拓撲流形A的二重懸垂同胚於5-球面,但是從A三角剖分英語Triangulation (topology)誘導出來的三角剖分不是分片線性流形英語Piecewise linear manifold。換言之,這給出了一個有限單純複形例子,是拓撲流形,但不是分片線性流形,

Galewski-Stern證明了任何至少5維的(無邊)緊流形都同胚於某單純複形,若且唯若存在一個同調3-流形Σ,其Rokhlin不變量英語Rokhlin invariant是1,使得它與自身的連通和Σ#Σ包圍了一個光滑零調(acyclic)4-流形。2013年,Ciprian Manolescu證明了不存在這樣的同調3-流形Σ。[1]因此存在5-流形不同胚於單純複形。特別地,Galewski-Stern原來給出的例子是不可三角剖分的。[2]

參考

  1. ^ Manolescu, Ciprian. Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture. arXiv:1303.2354可免費查閱.  To appear in Journal of the AMS.
  2. ^ D. Galewski and R. Stern. A universal 5-manifold with respect to simplicial triangulations, in Geometric topology. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) (New York: Academic Press). 1979: pp.345–350. 

參看

外部連結