外爾特徵標公式(Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者赫爾曼·外爾。
定義:羣G的表示r的特徵標為一函數
,
,其中Tr 為線性算子之跡。 (由彼得-外爾定理 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的;故跡之定義為線性代數中之定義。)
特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。 外爾特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示,不失一般亦設其為酉表示,因而「不可約」亦等價於「不可分解」(即非二子表示之直和)。
公式
緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4339a8c7e7e2aaf11c2bbe0133700182d72ab7)
其中
外爾分母公式
在 1 維表示的特例中,特徵標為 1, 而外爾特徵標公式簡化成 外爾分母公式:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\rho })=e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247052a8a8035109bd8b5086e21776ea6e6e6e5d)
若G為特殊么正羣,則簡化成范德蒙行列式的等式:
。
外爾維度公式
若只考慮單位元1之跡,則外爾特徵標公式 特殊化成 外爾維數公式
,
![{\displaystyle \dim(V_{\Lambda })={\prod _{\alpha >0}(\Lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha >0}(\rho ,\alpha )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a61ed5fe6caeb9ca81fd2b2bad919e7ec7dc62)
其中
- VΛ為有限維表示,其最高權為Λ;
- ρ為外爾向量,
- α 遍歴所有正根。
由於式中分子與分母俱為高階零,故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。
Freudenthal 公式
Hans Freudenthal發現了權重數符合之一遞歸公式。此公式等價於外爾特徵標公式,而在某些情況下更簡便。式曰:
;
其中
- Λ 為一最高權,
- λ 為另一權,
- dim Vλ 為權λ 之重數,
- ρ 為外爾向量,
- 外和中之 α 歴遍所有正根。
外爾-Kac 特徵標公式
外爾特徵標公式 亦適用於卡茨-穆迪代數之可積最高權表示 ——外爾-Kac 特特徵標公式。同樣地,分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代數,其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A1 仿射李代數之例成為經典的 雅可比三重乘積恆等式:
![{\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f3a0aa81855e3ab0e94888cba0185e202493a)
此特徵公式可推廣至廣義卡茨-穆迪代數之可積最高權表示:
![{\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22e25a4eb77315fa1cbb0290213827e4a0939f9)
其中 S 為一修正項:
![{\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb97025e69f6361e32ebf10c001b905d1520ed18)
其中 I歴遍虛簡單根集內 所有與最高權
正交、且互相正交之有限子集;|I| 集 I 之基數,而 ΣI為集 I 內元素之和。
而Monster 李代數之 分母公式 則為橢圓模函數j之積公式:
。
Peterson 發現了(廣義)可對稱化卡茨-穆迪代數之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外爾-卡茨分母公式,但更便於計算:
,
其中γ 與 δ 遍歴所有正根,而
。
參攷
註