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希欽系統

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數學中,希欽可積系統奈傑爾·希欽 (1987)提出的一類可積系統,取決於復約化群黎曼曲面的選擇。希欽系統是代數幾何李群理論和可積系統理論的交叉,通過共形場論,還在複數域上的幾何朗蘭茲對應中發揮重要作用。

希欽系統的0虧格類似物是卡尼爾可積系統,是勒內·卡尼爾發現的Schlesinger方程的某個極限,通過定義譜曲線解決了他的系統(卡尼爾系統是高丹模型的經典極限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的經典極限)。

幾乎所有經典力學的可積系統都可作為希欽系統或Bottacin & Markman (1994)的通用推廣的特例。

描述

用代數幾何的語言來說,系統的相空間是某緊代數曲線上,餘切叢到某約化群G穩定G模空間的部分緊化。這個空間被賦予了規範辛形式。簡單起見,假設一般線性群,則哈密頓量可以描述如下:G叢的模空間在叢F處的切空間

根據塞雷對偶性,對偶於

其中K規範叢,於是

稱作希欽對或希格斯叢,定義了餘切叢中的點。取

就可得

中的元素,這是個不依賴於的向量空間。因此,在這些向量空間中任取基,就能得到函數,這就是希欽哈密頓量。一般約化群的構造與此類似,用的是G李代數上的不變多項式。

由於平凡的原因,這些函數在代數上是獨立的,一些計算表明它們的數量恰是相空間維數的一半。非平凡部分是證明函數的泊松交換性。因此,它們定義了辛或劉維爾–阿諾德定理意義上的可積系統。

希欽纖維化

希欽纖維化是從希欽對的模空間到特徵多項式的映射,是卡尼爾用於定義譜曲線的映射的高虧格類似物。Ngô (2006, 2010在證明朗蘭茲綱領基本引理時使用了有限域上的希欽纖維化。

另見

參考文獻